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Mathematik

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Vorbemerkungen

Allgemeine Vorbemerkungen
Der Bildungsplan zeichnet sich durch Inhalts- und Kompetenzorientierung aus. In jeder Bildungsplaneinheit (BPE) werden in kursiver Schrift die übergeordneten Ziele beschrieben, die durch Zielformulierungen sowie Inhalts- und Hinweisspalte konkretisiert werden. In den Zielformulierungen werden die jeweiligen fachspezifischen Operatoren als Verben verwendet. Operatoren sind handlungsinitiierende Verben, die signalisieren, welche Tätigkeiten beim Bearbeiten von Aufgaben erwartet werden. Die für das jeweilige Fach relevanten Operatoren sowie deren fachspezifische Bedeutung sind jedem Bildungsplan im Anhang beigefügt. Durch die kompetenzorientierte Zielformulierung mittels dieser Operatoren wird das Anforderungsniveau bezüglich der Inhalte und der zu erwerbenden Kompetenzen definiert. Die formulierten Ziele und Inhalte sind verbindlich und damit prüfungsrelevant. Sie stellen die Regelanforderungen im jeweiligen Fach dar. Die Inhalte der Hinweisspalte sind unverbindliche Ergänzungen zur Inhaltsspalte und umfassen Beispiele, didaktische Hinweise und Querverweise auf andere Fächer bzw. BPE.
Der VIP-Bereich im Bildungsplan umfasst Vertiefung, individualisiertes Lernen sowie Projektunterricht. Im Rahmen der hier zur Verfügung stehenden Stunden sollen die Schülerinnen und Schüler bestmöglich unterstützt und bei der Weiterentwicklung ihrer personalen und fachlichen Kompetenzen gefördert werden. Die Fachlehrerinnen und Fachlehrer nutzen diese Unterrichtszeit nach eigenen Schwerpunktsetzungen auf Basis der fächerspezifischen Besonderheiten und nach den Lernvoraussetzungen der einzelnen Schülerinnen und Schüler.
Der Teil „Zeit für Leistungsfeststellung“ des Bildungsplans berücksichtigt die Zeit, die zur Vorbereitung, Durchführung und Nachbereitung von Leistungsfeststellungen zur Verfügung steht. Dies kann auch die notwendige Zeit für die gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen (GFS), Nachbesprechung zu Leistungsfeststellungen sowie Feedback-Gespräche umfassen.
Fachbezogene Vorbemerkungen
Im Mathematikunterricht lernen die Schülerinnen und Schüler Begriffe und Methoden, um ihre Umwelt mathematisch wahrzunehmen, sich in ihr zu orientieren und Probleme mit mathematischen Mitteln zu lösen. Dabei stehen positive Einstellungen zur Mathematik, Freude am Entdecken mathematischer Zusammenhänge, am Bearbeiten von mathematischen Problemstellungen, am Erleben des Lernzuwachses und am Zuwachs von Erkenntnissen gleichermaßen im Fokus.
Der Bildungsplan legt das Anforderungsniveau gemäß der Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss der Kultusministerkonferenz in diesem Fach zu Grunde. Er orientiert sich an den in der Fachpräambel formulierten Zielen: „Der Mathematikunterricht trägt zur Bildung der Schülerinnen und Schüler bei, indem er ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglichen, die miteinander in engem Zusammenhang stehen:
technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mithilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen;
Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen;
in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben“ (Beschlüsse der Kultusministerkonferenz, Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom 04.12.2003).

Die im Laufe der drei Schuljahre erworbenen mathematischen Inhalte und Arbeitstechniken bilden die Grundlage für die Bildungsziele der gymnasialen Oberstufe und der Kompetenzentwicklung der Schülerinnen und Schüler bis zur allgemeinen Hochschulreife. Da Schülerinnen und Schüler aus verschiedenen Schularten und aus verschiedenen Schulen kommen können, sind die verschiedenen Vorkenntnisse bei der Umsetzung des Bildungsplans zu berücksichtigen.
Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Fähigkeit erwerben, in Zusammenhängen zu denken, reale Vorgänge zu modellieren, Techniken des Problemlösens zu beherrschen sowie Ergebnisse darzustellen und zu interpretieren. In das Zentrum des Unterrichts treten daher verstärkt die allgemeinen mathematischen Kompetenzen:
K1: Mathematisch argumentieren
K2: Probleme mathematisch lösen
K3: Mathematisch modellieren
K4: Mathematische Darstellungen verwenden
K5: Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
K6: Mathematisch kommunizieren

Die Schülerinnen und Schüler erwerben diese Kompetenzen anhand der mathematischen Inhalte des vorliegenden Bildungsplans. Fächerübergreifende Aufgabenstellungen verdeutlichen die weitreichende Bedeutung der Mathematik. Aufgaben und Probleme, die diesen Praxisbezug herstellen, sollen sich an der berufsbezogenen Richtung des Beruflichen Gymnasiums orientieren und nach Möglichkeit dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler entstammen.
„Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht
beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,
durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten,
mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,
durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten“ (Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife, Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.12.2012).

Der Einsatz von digitalen Medien und Werkzeugen dient nicht als Ersatz, sondern als gezielte Ergänzung zu anderen Formen des Lehrens und Lernens. Materialien und Lernsequenzen können digital zur Verfügung gestellt werden. Lernstandskontrollen können mit digitalen Medien durchgeführt und zur individuellen Förderung genutzt werden. Durch den möglichen Einsatz digitaler Medien und Werkzeuge wird der Unterricht entlang der Lebenswirklichkeit der Schülerinnen und Schüler gestaltet. Diese unterstützen die individuelle und aktive Wissensaneignung, fördern selbstgesteuertes, kooperatives und kreatives Lernen sowie die Fähigkeit, Aufgaben und Problemstellungen selbstständig und lösungsorientiert zu bearbeiten. Damit zielt der Einsatz von digitalen Medien und Werkzeugen im Mathematikunterricht auf den Aufbau der Handlungskompetenz sowie der Medienkompetenz der Schülerinnen und Schüler.
Der Mathematikunterricht fördert durch die Behandlung von Problemen aus der Berufs- und Arbeitswelt sowie durch Begegnungen mit Anwendungssituationen die berufliche Orientierung der Schülerinnen und Schüler sowie ihre Fähigkeit zur begründeten Planung des weiteren Lebensweges.

Bildungsplanübersicht

Schuljahr

Bildungsplaneinheiten

Zeitricht-wert

Gesamt-stunden

Klasse 8

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

1	Termumformungen

2	Lineare Gleichungen

3	Lineare Funktionen

4	Lineares Gleichungssystem

5	Kongruenz und Ortslinien

140

Zeit für Leistungsfeststellung

160

Klasse 9

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

6	Ähnlichkeit und Strahlensätze

7	Reelle Zahlen, Wurzeln und quadratische Gleichungen

8	Quadratische Funktionen

9	Flächeninhalte, Satz des Pythagoras, Kreis

Statistik

140

Zeit für Leistungsfeststellung

160

Klasse 10

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

11	Wahrscheinlichkeitsrechnung

12	Potenzen und Potenzfunktionen

13	Darstellung und Berechnung von Körpern

14	Exponentialfunktionen

15	Trigonometrie

140

Zeit für Leistungsfeststellung

160

Klasse 8

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

Vertiefung	Individualisiertes Lernen	Projektunterricht
z. B. Übungen Anwendungen Wiederholungen	z. B. Selbstorganisiertes Lernen Lernvereinbarungen Binnendifferenzierung	z. B. Projekt Reise – Gegenüberstellung von verschiedenen Anreisemöglichkeiten unter dem Aspekt: Strecke, Dauer, Kosten, CO₂-Emission. Erstellung eines Erklärvideos zum Vergleich von Kauf oder Finanzierung von z. B. Handy, Smart-TV, Mofa Origami und Geometrie Teilnahme an Wettbewerben wie z. B. Mathe im Advent

Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 1	Termumformungen	20
Die Schülerinnen und Schüler beherrschen das Rechnen mit Variablen. Sie erfassen dabei die Abfolge der Rechenhierarchien und die Notwendigkeit der Klammersetzung. Diese nutzen sie, um Terme mit Variablen zu vereinfachen, zu berechnen und Sachzusammenhänge mathematisch, übersichtlich und präzise zu formulieren.

BPE 1.1

Die Schülerinnen und Schüler wenden die Rechengesetze bei Termen mit Variablen an. Darüber hinaus deuten sie Sachzusammenhänge als Terme und berechnen den Wert von Termen durch das Einsetzen von Zahlen.

Rechnen mit Termen	auch Terme mit mehreren Variablen
Aufstellen von Termen
Vereinfachen von Termen
Einsetzen von Zahlen	Kopfrechnungen, Überschlagsrechnungen, Ergebnisse schätzen und kontrollieren
Multiplikation von Summen	z. B. \((2a + 3) \cdot (8 + 4b)\) z. B. \( \left( x + \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} x - 4 \right) \)
Faktorisieren	z. B. \(8a + 2 = 2(4a + 1)\) z. B. \(2{x^2} + 4x = x (2x + 4) \) z. B. \({x^2} + 8x + 16 = {(x + 4)^2}\)
Potenz als Schreibweise	\(a \cdot a = {a^2}\)
Binomische Formeln

BPE 2	Lineare Gleichungen	15
Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Rechenfertigkeiten auf lineare Gleichungen, lineare Ungleichungen und einfache Bruchgleichungen an.

BPE 2.1

Die Schülerinnen und Schüler berechnen mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind. Auch wenden sie die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen an.

Äquivalenzumformungen
lineare Gleichungen	z. B. Seitenlänge bei gegebenem Umfang eines Quadrats
einfache Formeln	z. B. \(s = v \cdot t\), Auflösen nach jeder Variablen
Bruchgleichungen mit einer Variablen, Definitionsmenge	z. B. \(2 = \frac{8}{{x - 2}}\); Definitionsmenge \(D = \Bbb Q \backslash \{ 2\} \)
lineare Ungleichungen	z. B. \(3 <2 - x\), Lösungsmenge \(L = \{ x \in {\Bbb Q}\|x <- 1\}\)

BPE 2.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Grundbegriffe der Prozent- und Zinsrechnung. Sie berechnen Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz und Zins.

Prozentrechnung	Anwendungsaufgaben
Grundwert Prozentwert Prozentsatz
Zinsrechnung	Anwendungsaufgaben
Kapital Zinssatz Zins

BPE 3	Lineare Funktionen	30
Die Schülerinnen und Schüler erfassen und interpretieren in Situationen aus dem Alltag, den Naturwissenschaften, der Technik und der Wirtschaft die Abhängigkeiten zwischen zwei Größen als funktionale Zusammenhänge. Den Funktionsbegriff erkennen sie als fundamentales Element der Mathematik.

BPE 3.1

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen und interpretieren funktionale Zusammenhänge sprachlich und unter Verwendung von Tabellen und Schaubildern und führen die verschiedenen Darstellungsformen situationsgerecht ineinander über.

Darstellungsformen von funktionalen Zusammenhängen	z. B. Zeit-Weg, Gefäße: Füllhöhe-Volumen, Tarife, Messwerte Projekte: Reise und Finanzierungsmodelle
verbal
Tabelle Schaubild	z. B. größte und kleinste Werte, Zu- und Abnahme, Zeitpunkte, eindeutige und nicht eindeutige Zuordnungen
Proportionalität und Antiproportionalität	z. B. Menge und Preis, Anzahl und Preis pro Person

BPE 3.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben lineare Zusammenhänge unter Berücksichtigung des Funktionsbegriffes.

Lineare Funktion
\(f(x) = mx + b;x \in {\Bbb Q}\) Wertetabelle Schaubild Definitions- und Wertemenge	Änderungsverhalten im Sachzusammenhang, z. B. Tarife, Prepaid-Karte, Wertverlust, Änderungsrate
Nullstelle	\(f(x) = 0 \)

BPE 3.3

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Gleichung, die Steigung und den y-Achsenabschnitt von Geraden und zeichnen Geraden in ein Koordinatensystem.

Gerade
\(g:y = mx + b\)	„Die Gerade g mit der Gleichung …“ z. B. \(g:y = 2;\,\,h:y = 2x + 3;\,g:y = x;\,h:y = - x\)
Steigung \(m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\), Steigungsdreieck
y-Achsenabschnitt

BPE 3.4

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenachsen und weisen nach, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Sie untersuchen die gegenseitige Lage von zwei Geraden und berechnen die gemeinsamen Punkte.

Achsenschnittpunkte
Punktprobe	P liegt auf g; \(P \in g\)
Lage zweier Geraden	zeichnerisch, algebraisch durch Gleichsetzungsverfahren; \(g \parallel h,\,g \cap h = \{ S\}, g \perp h \)
parallel, orthogonal gemeinsame Punkte

BPE 3.5

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Gleichungen von Geraden.

Aufstellen von Geradengleichungen	z. B. zwei Punkte, Steigung und ein Punkt, parallel zu einer anderen Gerade und durch einen Punkt
zeichnerisch rechnerisch

BPE 4	Lineares Gleichungssystem	10
Die Schülerinnen und Schüler erkennen den vielfältigen Einsatz und Nutzen von linearen Gleichungssystemen.

BPE 4.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Sachzusammenhänge als lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, lösen diese grafisch und bestimmen die Lösung rechnerisch mit einem Verfahren. Sie untersuchen auf Lösbarkeit und Lösungsvielfalt.

Lineares Gleichungssystem	z. B. Tarifvergleiche, Gegenseitige Lage zweier Geraden, Zahlenrätsel
Zeichnerische Lösung
Rechnerische Lösung	z. B. Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren
Lösbarkeit und Lösungsvielfalt: eine, keine, unendlich viele Lösungen

BPE 5	Kongruenz und Ortslinien	25
Die Schülerinnen und Schüler erfahren mathematische Beweisführungen anhand der Geometrie und erlernen, Lösungswege und geometrische Konstruktionen fachsprachlich zu begründen.

BPE 5.1

Die Schülerinnen und Schüler stellen Ortslinien, Höhen im Dreieck und Seitenhalbierende grafisch dar und lösen geometrische Probleme zeichnerisch. Sie ermitteln besondere Punkte im Dreieck mithilfe von Zirkel und Lineal und begründen die Konstruktion. Sie beweisen den Satz des Thales und nutzen ihn zur Prüfung auf Orthogonalität und zur Konstruktion eines rechten Winkels.

Ortslinien	anwendungsbezogene Einführung
Mittelsenkrechte Mittelparallele Winkelhalbierende
Höhe im Dreieck
Seitenhalbierende
Besondere Punkte eines Dreiecks
Inkreismittelpunkt Umkreismittelpunkt
Thaleskreis
Konstruktion Prüfung auf Orthogonalität

BPE 5.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Figuren auf Kongruenz. Die Konstruierbarkeit von Dreiecken begründen sie mithilfe der Kongruenzsätze.

Kongruenz	Streckenlängen und Winkelweiten in maßstäblichen Zeichnungen
Deckungsgleichheit Vergleich Streckenlängen Vergleich Winkelweiten
Kongruenzsätze bei Dreiecken
Konstruierbarkeit Lösungsvielfalt

Klasse 9

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

Vertiefung	Individualisiertes Lernen	Projektunterricht
z. B. Übungen Anwendungen Wiederholungen	z. B. Selbstorganisiertes Lernen Lernvereinbarungen Binnendifferenzierung	z. B. Bau von Instrumenten, wie Jakobsstab, Försterdreieck, Drehkreuz, Winkelspiegel usw. zur Vermessung z. B. des Schulgeländes Fotoprojekt: Entdeckung und Modellierung von Parabeln in unserer Umwelt Lebenswelt Pythagoras: Tagebucheinträge Datenerhebung und Auswertung zu einer aktuellen Wahl Besuch einer Mathematikausstellung bzw. Mathematiklabors

Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 6	Ähnlichkeit und Strahlensätze	15
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Figuren und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen.

BPE 6.1

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen zwei Figuren auf Ähnlichkeit. Sie begründen die Ähnlichkeit von Dreiecken mithilfe der Ähnlichkeitssätze.

Ähnlichkeit	zentrische Streckung
Übereinstimmung Winkel Übereinstimmung Streckenverhältnisse
Ähnlichkeit bei Dreiecken
Ähnlichkeitssätze

BPE 6.2

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Ähnlichkeit von Figuren und der Strahlensätze.

Strahlensätze
erster Strahlensatz
zweiter Strahlensatz	Nichtumkehrbarkeit des zweiten Strahlensatzes
Streckenlänge Winkelweite

BPE 7	Reelle Zahlen, Wurzeln und quadratische Gleichungen	20
Ausgehend von geometrischen oder algebraischen Problemen erkennen die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit einer weiteren Zahlbereichserweiterung. Sie rechnen mit Quadratwurzeln, wählen geeignete Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen und argumentieren mit diesen die Lösbarkeit.

BPE 7.1

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Quadratwurzeln exakt oder näherungsweise und vereinfachen Zahlterme, in denen Quadratwurzeln enthalten sind, auch durch teilweises Wurzelziehen; sie stellen Wurzelterme auf. Die Schülerinnen und Schüler berechnen Kubikwurzeln näherungsweise, erläutern die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen und nennen Beispiele für irrationale Zahlen.

Quadratwurzeln
Quadrieren und Wurzelziehen
Abschätzungen	z. B. \(6 <\sqrt {40} < 7\)
Näherungsverfahren	z. B. Iterationsverfahren für \(\sqrt{2}\), Intervallteilung
Rechnen mit Quadratwurzeln
Aufstellen von Termen	z. B. Seitenlänge eines Quadrats
Rechenregeln	z. B. \(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab} \); \(\sqrt a :\sqrt b = \sqrt {a:b} \) im Allgemeinen gilt: \(\sqrt a + \sqrt b \ne \sqrt {a + b} \)
teilweises Wurzelziehen
Kubikwurzel	z. B. \(\sqrt[3]{9} \approx 2,08\) z. B. Kantenlänge eines Würfels
Reelle Zahlen
Irrationale Zahlen	z. B. \(\sqrt 2 ;\,\sqrt[3]{9} ;\,\pi \)

BPE 7.2

Die Schülerinnen und Schüler lösen verschiedene quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren. Ebenfalls untersuchen sie die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen.

Gleichungstypen	\(a{x^2} + c = 0\); \(a{x^2} + bx = 0\); \(a{x^2} + bx + c = 0\); \(4{t^2} = 7\); \(0,5{m^2} + 8m = 0\); \( (0,2p + 4)p = 8\)
Rechnerische Lösung	z. B. abc-Formel, Satz von Vieta
Äquivalenzumformungen und Wurzelziehen Lösungsformel Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
Anzahl der Lösungen
Diskriminante

BPE 8	Quadratische Funktionen	30
Die Schülerinnen und Schüler erkennen quadratische Zusammenhänge und wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen. Mit der quadratischen Funktion lernen sie eine erste Erweiterung des Funktionsbegriffes kennen und behandeln anhand von quadratischen Funktionen inner- und außermathematische Fragestellungen.

BPE 8.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten quadratische Zusammenhänge aus Tabellen, Schaubildern oder Texten. Sie stellen diese Zusammenhänge grafisch dar.

Quadratische Zusammenhänge

z. B. Brücke, Ballwurf, Bremsweg, Zahlenrätsel

BPE 8.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Normalparabel und ihre Gleichung. Sie deuten die Wirkung der Parameter auf den Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, und Verschiebung.

Normalparabel und ihre Gleichung	\(p:y = {x^2}\)
Abbildungen der Normalparabel
Verschiebung in x- und y-Richtung	\(p:y = {(x - v)^2} + u\)
Streckung in y-Richtung	\(p:y = a{x^2}\)
Spiegelung an der x-Achse	\(p:y = - {x^2}\)
Streckung und Verschiebung	\(p:y = a{(x - v)^2} + u\)

BPE 8.3

Die Schülerinnen und Schüler geben die Eigenschaften einer Parabel an und skizzieren diese ausgehend von der Lage des Scheitels.

Eigenschaften einer Parabel
Symmetrie Scheitel Definitions- und Wertemenge

BPE 8.4

Die Schülerinnen und Schüler erläutern den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsformen von Parabeln durch quadratische Gleichungen. Mithilfe einer Wertetabelle zeichnen sie Parabeln und ermitteln grafisch und rechnerisch den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Gleichungen von Parabeln in Scheitel- oder gegebenenfalls Linearfaktorform.

Gleichungstypen
Scheitelform	\(p:y = a{(x - {x_s})^2} + {y_s}\)
Linearfaktorform	\(p:y = a(x - {x_1})(x - {x_2})\)
allgemeine Form	\(p:y = a{x^2} + bx + c\)
Achsenschnittpunkte
Scheitelpunkt	z. B. \({x_s} = - \frac{b}{{2a}}\) oder \({x_s} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\)

BPE 8.5

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die gegenseitige Lage von Parabeln und Geraden und berechnen gemeinsame Punkte.

Gegenseitige Lage
Parabel − Gerade: Sekante, Tangente, Passante
Parabel – Parabel
gemeinsame Punkte

BPE 8.6

Die Schülerinnen und Schüler lösen quadratische Ungleichungen und interpretieren die Lösungen grafisch.

Quadratische Ungleichungen

BPE 8.7

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zusammenhänge durch quadratische Funktionen. Damit zusammenhängend bestimmen und interpretieren sie die Lösung einfacher Modellierungsaufgaben mithilfe quadratischer Funktionen.

Quadratische Funktion	\(f(x) = a{x^2} + bx + c;\,x \in {\Bbb R}\)
Nullstellen	\(f(x) = 0 \)
Einfache Modellierungen	z. B. Extremwertbestimmung, Kosten, Gewinn, Wurfbewegungen, Brücken

BPE 9	Flächeninhalte, Satz des Pythagoras, Kreis	25
Die Schülerinnen und Schüler lernen den Satz des Pythagoras als einen der elementarsten Sätze der Geometrie mit vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten zur Lösung geometrischer Probleme kennen. Sie bestimmen näherungsweise die Kreiszahl π und berechnen Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren.

BPE 9.1

Die Schülerinnen und Schüler geben im rechtwinkligen Dreieck die Seiten an. Sie beweisen den Satz des Pythagoras und wenden ihn als algebraisches Hilfsmittel zur Zeichnung, zur Berechnung von Streckenlängen und zur Untersuchung von Orthogonalität in Figuren und Körpern an.

Rechtwinkliges Dreieck
Hypotenuse, Katheten
Satz des Pythagoras
Streckenlänge
Orthogonalität	Umkehrung des Satz von Pythagoras z. B. Zwölfknotenschnur
Anwendung	z. B. Raumdiagonale, Höhe einer Pyramide

BPE 9.2

Die Schülerinnen und Schüler deuten die Zahl π als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Mithilfe anschaulicher Überlegungen unter Einbeziehung eines Näherungsverfahrens erläutern sie, wie die Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises entstehen. Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und Kreisausschnitten.

Kreis
Kreiszahl π	z. B. Exhaustionsverfahren von Archimedes
Flächeninhalt	z. B. Annäherung durch Flächen von regelmäßigen n-Ecken
Umfang
Kreisausschnitt
Bogenlänge Flächeninhalt

BPE 9.3

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren.

Zusammengesetzte Figuren
Flächeninhalt Umfang	Dreieck, Viereck, Kreis

BPE 10	Statistik	10
Die Schülerinnen und Schüler planen statistische Erhebungen und führen diese systematisch durch. Darüber hinaus stellen sie die Daten grafisch dar, reflektieren und bewerten Argumente basierend auf einer Datenanalyse.

BPE 10.1

Die Schülerinnen und Schüler führen eine Datenerhebung durch, berechnen Häufigkeiten und stellen diese grafisch dar.

Datenerhebung
Urliste Merkmal Merkmalsausprägung
Absolute und relative Häufigkeit	z. B. Daten aus vorgegebenen Quellen entnehmen
Diagramme
Kreisdiagramm Balken- und Säulendiagramm

BPE 10.2

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Kenngrößen unteres und oberes Quartil und Median. Sie erstellen einen Boxplot und können die Verteilung mithilfe von Boxplots interpretieren.

Quantile
Median oberes und unteres Quartil
Boxplot

BPE 10.3

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen, interpretieren und bewerten Aussagen zur Datenanalyse.

Merkmalstabellen
Kenngrößen
Diagramme

z. B. Aussagen formulieren, Eignung der Darstellungsform, Aussagekraft unterschiedlicher Darstellungen, Irreführung erkennen, Aussagekraft bewerten, Fehlinterpretation

Klasse 10

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

Vertiefung	Individualisiertes Lernen	Projektunterricht
z. B. Übungen Anwendungen Wiederholungen	z. B. Selbstorganisiertes Lernen Lernvereinbarungen Binnendifferenzierung	z. B. Planung und Erstellung von Glücksspielen z. B. Glücksrad, Lostrommel, Galton-Brett, Lotto, Roulette, Black Jack Erstellung einer Wandzeitung oder eines E-Books zum Thema exponentielles Wachstum, z. B. Ebola-Virus CO₂-Konzentration, Tierpopulationen, Darlehen und Tilgung, Kettenreaktion , Algenvermehrung, Bevölkerungswachstum Teilnahme an Mathematik-Wettbewerben

Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 11	Wahrscheinlichkeitsrechnung	15
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, verstehen Wahrscheinlichkeitsaussagen und kennen den Begriff der Wahrscheinlichkeit.

BPE 11.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ebenfalls bestimmen sie empirisch Wahrscheinlichkeiten mithilfe relativer Häufigkeiten.

Zufallsexperimente	Zufallserscheinungen im Alltag Auswertung von Zufallsexperimenten
Ergebnis Ereignis Sicheres Ereignis Unmögliches Ereignis Gegenereignis
Gesetz der großen Zahlen	Zusammenhang relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit

BPE 11.2

Die Schülerinnen und Schüler deuten Zufallsexperimente und berechnen die Wahrscheinlichkeiten, insbesondere bei Laplace-Experimenten.

Laplace-Experiment	Durchführung von Zufallsexperimenten, z. B. Würfeln, Karten, Glücksrad, Lose Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen der möglichen und günstigen Ergebnisse
Zufallsexperimente
einstufig
zweistufig	Urnenmodelle, Augensumme zweier Würfel
Ziehen mit und ohne Zurücklegen Ziehen mit und ohne Beachtung der Reihenfolge

BPE 11.3

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Baumdiagramme und bestimmen damit Wahrscheinlichkeiten.

Baumdiagramm	auch drei- und mehrstufige Zufallsexperimente
Pfadregeln	Produkt- und Summenregel

BPE 11.4

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Erwartungswerte in konkreten Situationen.

Erwartungswert in konkreten Situationen

z. B. Gewinnermittlung

BPE 12	Potenzen und Potenzfunktionen	20
Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Rechenfertigkeit durch die Anwendung der Rechengesetze für Potenzen. Sie lernen die Potenzfunktion als weitere elementare mathematische Funktion kennen.

BPE 12.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke. In dem Zusammenhang geben sie Zahlen in Normdarstellung sowie mit Zehnerpotenzen im Makro- oder Mikrozahlbereich an.

Potenzen mit rationalen Exponenten	z. B. \({a^{ - 1}} = \frac{1}{a}\), \(\sqrt[3]{x^2} = {x^{\frac{2}{3}}}\)
Normdarstellung	SCI-Format, Präfixe bei Maßeinheiten, z. B. GB, MHz, nm, \( \mu g\)
Zehnerpotenzen

BPE 12.2

Die Schülerinnen und Schüler begründen die Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und wenden diese an.

Potenzgesetze

BPE 12.3

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Eigenschaften von Potenzfunktionen und deren Graphen und wechseln zwischen den verschiedenen Darstellungsformen.

Potenzfunktion
\(f(x) = {x^n};\,n \in {\Bbb N}\)
\(f(x) = {x^k};\,k \in \{ - 1, - 2\} \)	Definitions- und Wertemenge
Schaubilder

BPE 12.4

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Lösungen einfacher Potenzgleichungen, auch im Anwendungszusammenhang.

Potenzgleichungen

z. B. \({x^3} = 27\), \({x^4} = 15\), \(2{x^3} - 16 = 0\), \({x^{ - 2}} = \frac{1}{4}\)
z. B. Radius bei gegebenem Kugelvolumen bestimmen

BPE 13	Darstellung und Berechnung von Körpern	20
Die Schülerinnen und Schüler entwickeln ein räumliches Vorstellungsvermögen und lernen elementare Grundkörper im Raum kennen.

BPE 13.1

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Netze und Schrägbilder von Körpern und wechseln zwischen den Darstellungsformen.

Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel	Bastelvorlagen für Netze und Modelle
Schrägbilder Netze

BPE 13.2

Die Schülerinnen und Schüler weisen die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhaltes beim Zylinder und beim Kegel nach und erläutern die Formeln für das Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel durch Plausibilitätsbetrachtung.

Mantelflächeninhalt	Abwicklungen, Schnitte, Geodätische Linien
Zylinder Kegel
Volumen
Pyramide	z. B. Cheops-Pyramide
Kegel
Kugel	z. B. Atomium in Brüssel

BPE 13.3

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Volumen und Oberflächeninhalte von einfachen und zusammengesetzten Körpern.

Raum- und Oberflächeninhalte	Papierfalten, z. B. Pyramidenschachtel, Würfel
Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Zusammengesetzte Körper

BPE 14	Exponentialfunktionen	25
Die Schülerinnen und Schüler entdecken die Exponentialfunktionen, mit denen bestimmte Wachstums- und Zerfallsvorgänge aus Natur, Technik und Wirtschaft beschrieben werden können. Sie lernen den Logarithmus als Umkehroperation kennen und erweitern damit ihre Rechenfertigkeiten.

BPE 14.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten Wachstums- und Zerfallsvorgänge anhand von Tabellen, Schaubildern oder Texten als lineares oder exponentielles Wachstum.

Lineares Wachstum	z. B. Abbrennen einer Kerze, Abschreibung für Anlagegüter (AfA), Kosten, Pflanzenwachstum
Exponentielles Wachstum	z. B. Kettenbriefe, Seerosen, Wertverlust

BPE 14.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Exponentialfunktionen, beschreiben die charakteristischen Eigenschaften und skizzieren deren Schaubilder.

Exponentialfunktion	z. B. \(f(x) = {2^x},\,f(x) = {1,25^x},\,f(x) = {0,7^x}\)
\(f(x) = {a^x};\,x \in {\Bbb R};\,a \in {\Bbb R}_ + ^*\backslash \{ 1\} \) Schaubild Gemeinsamer Schnittpunkt auf der y-Achse Asymptote Globaler Verlauf

BPE 14.3

Die Schülerinnen und Schüler deuten die Wirkung von Parametern in Funktionstermen von Exponentialfunktionen auf deren Graphen. Sie skizzieren die zugehörigen Schaubilder unter Verwendung der charakteristischen Eigenschaften.

Streckung in y-Richtung
Verschiebung in y-Richtung

\(f(x) = c \cdot {a^x} + d\)

BPE 14.4

Die Schülerinnen und Schüler interpretieren den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung und ermitteln die Lösungen einfacher Exponentialgleichungen.

Logarithmus
\({\log _a}(b) \) für \( a \in {\Bbb R}_ + ^*\backslash \{ 1\} \) \({\log _a}(b)\, = x \Leftrightarrow {a^x} = b\)
Einfache Exponentialgleichungen	z. B. \(3 \cdot {2^x} - 4 = 20\)

BPE 14.5

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Lösungen bei Anwendungsaufgaben zu Exponentialfunktionen.

Wachstums- und Zerfallsvorgänge	radioaktiver Zerfall, Halbwertszeit, Bevölkerungsentwicklung, Bakterienkultur
Zinsrechnung
Zinseszins Berechnung aller Größen bei \({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)

BPE 15	Trigonometrie	20
Die Schülerinnen und Schüler wenden bei Berechnungen in ebenen und räumlichen Figuren trigonometrische Kenntnisse an. Sie lernen die Sinusfunktion zur Darstellung periodischer Vorgänge als eine weitere elementare mathematische Funktion kennen.

BPE 15.1

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken. Darüber hinaus wenden sie die trigonometrischen Kenntnisse in ebenen und räumlichen Figuren und in Anwendungsbezügen an.

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Streckenlängen und Winkelgrößen	Steigungswinkel einer Geraden: \(m = \tan (\alpha )\)
Anwendungsaufgaben
in der Ebene	z. B. Steigung einer Straße
im Raum	z. B. Höhe eines Berges, Landeflug

BPE 15.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen periodische Vorgänge anhand der Sinusfunktion, skizzieren und interpretieren diese.

Sinusfunktion	Erweiterung des Sinus im Einheitskreis
\(f(\alpha ) = \sin (\alpha )\) mit \(0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 360^\circ \)
\(f(\alpha ) = \sin (\alpha ) + b\) mit \(0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 360^\circ \)	z. B. Sonnenstand, Pendel, Gezeiten, evtl. mit Veränderung der Skalierung der \( \alpha \)-Achse
Schaubild

Operatorenliste

In den Zielformulierungen der Bildungsplaneinheiten werden Operatoren (= handlungsleitende Verben) verwendet. Diese Zielformulierungen (Standards) legen fest, welche Anforderungen die Schülerinnen und Schüler in der Regel erfüllen. Zusammen mit der Zuordnung zu einem der drei Anforderungsbereiche (AFB) dienen Operatoren einer Präzisierung. Dies sichert das Erreichen des vorgesehenen Niveaus und die angemessene Interpretation der Standards.

Anforderungsbereiche
Anforderungsbereich I umfasst das Wiedergeben von Sachverhalten im gelernten Zusammenhang unter rein reproduktivem Benutzen eingeübter Arbeitstechniken (Reproduktion).
Anforderungsbereich II umfasst das selbstständige Erklären, Bearbeiten und Ordnen bekannter Inhalte und das angemessene Anwenden gelernter Inhalte und Methoden auf andere Sachverhalte (Reorganisation und Transfer).
Anforderungsbereich III umfasst den reflexiven Umgang mit neuen Problemstellungen, den eingesetzten Methoden und gewonnenen Erkenntnissen, um zu eigenständigen Begründungen, Folgerungen, Deutungen und Wertungen zu gelangen (Reflexion und Problemlösung).

Operator	Erläuterung	Zuordnung AFB
angeben, nennen	für die Angabe bzw. Nennung ist keine Begründung notwendig	I
begründen, nachweisen, zeigen	Aussagen oder Sachverhalte sind durch logisches Schließen zu bestätigen. Die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen	II, III
berechnen	die Berechnung ist ausgehend von einem Ansatz darzustellen	I, II, III
beschreiben	bei einer Beschreibung kommt einer sprachlich angemessenen Formulierung und gegebenenfalls einer korrekten Verwendung der Fachsprache besondere Bedeutung zu, eine Begründung für die Beschreibung ist nicht notwendig	II, III
bestimmen, ermitteln	die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen	I, II, III
beurteilen	das zu fällende Urteil ist zu begründen	II, III
deuten, interpretieren	die Deutung bzw. Interpretation stellt einen Zusammenhang her z. B. zwischen einer grafischen Darstellung, einem Term oder dem Ergebnis einer Rechnung und einem vorgegebenen Sachzusammenhang	II, III
erläutern	die Erläuterung liefert Informationen, mithilfe derer sich z. B. das Zustandekommen einer grafischen Darstellung oder ein mathematisches Vorgehen nachvollziehen lassen	II, III
entscheiden	für die Entscheidung ist keine Begründung notwendig	I, II
grafisch darstellen, zeichnen	die grafische Darstellung bzw. Zeichnung ist möglichst genau anzufertigen	I
skizzieren	die Skizze ist so anzufertigen, dass sie das im betrachteten Zusammenhang Wesentliche grafisch beschreibt	I, II, III
untersuchen	die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen	II, III

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