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1. Leitgedanken zum Kompetenzerwerb
1.1 Bildungswert des Faches Mathematik
Der Mathematikunterricht der Grundschule greift die unterschiedlichen Alltagserfahrungen und Vorkenntnisse der Kinder auf, stabilisiert, erweitert und systematisiert sie, um eine breite Ausgangsbasis für die Entwicklung grundlegender mathematischer Kompetenzen aufzubauen. Auf diese Weise wird die Grundlage für das weitere schulische Mathematiklernen und für eine lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Anforderungen des täglichen Lebens geschaffen.
Eine zentrale Aufgabe des Mathematikunterrichts aller Schuljahre ist es, Schülerinnen und Schüler für den mathematischen Gehalt alltäglicher Situationen und Phänomene zu sensibilisieren und sie zum Problemlösen mit mathematischen Mitteln anzuleiten. In der Auseinandersetzung mit authentischen Fragen und Problemen, aber auch mit konstruierten Sachsituationen, erwerben sie mathematische Kompetenzen und lernen, diese zu nutzen. Dazu gehört auch die Entwicklung einer kritisch-konstruktiven Fragehaltung gegenüber mathematischen Lösungen in Sachsituationen. Neben dieser Anwendungsorientierung ist es auch Aufgabe des Mathematikunterrichts in der Grundschule, den Kindern zu ermöglichen, auf ihrem Niveau mathematische Strukturen und Zusammenhänge zu entdecken, diese zu untersuchen und zu nutzen. Diese Strukturorientierung eröffnet den Kindern den Zugang zu ästhetischen Aspekten von Mathematik, die sich in arithmetischen und in geometrischen Mustern zeigen.
Die zentralen fachlichen Zielsetzungen des Mathematikunterrichts beinhalten auch Kompetenzen, die für eine aktive, selbstbestimmte Teilhabe der Kinder in der digitalen Welt erforderlich sind. Dazu zählen insbesondere das strukturierte Zerlegen von Problemen sowie das konstruktive und kreative Modellieren von Problemlösungen, das Strukturieren und Darstellen von Informationen in unterschiedlichen Repräsentationen sowie das kritische Interpretieren von Informationen, das Verstehen von Algorithmen sowie von symbolischer und formaler Sprache.
Beitrag des Faches zu den Leitperspektiven
In welcher Weise das Fach Mathematik einen Beitrag zu den Leitperspektiven leistet, wird im Folgenden dargestellt:
- Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE)
Der Mathematikunterricht leistet seinen Beitrag zur „Bildung für nachhaltige Entwicklung“, indem er im Bereich der Sachsituationen und Daten auch Themen aufgreift, die die Kinder zunehmend befähigen, in vielfältigen Kontexten und Lebensbereichen verantwortungsvoll und nachhaltig zu agieren. „Konzepte des Globalen Lernens“ finden hierbei Berücksichtigung. - Bildung für Toleranz und Akzeptanz von Vielfalt (BTV)
Durch angemessene Problemstellungen mit mathematischen Aspekten aus vielfältigen Lebensbedingungen wird eine Toleranz und Akzeptanz von Vielfalt natürlich aufgebaut und weiterentwickelt. Aus dem Stellenwert des Faches Mathematik erwächst die Verantwortung, im Unterricht seine Bedeutung durch häufigen Bezug zur realen Welt herauszuarbeiten. Mit geeigneten, anwendungsorientierten Aufgaben und durch die Art der Behandlung können Aspekte der Bildung für Toleranz und Akzeptanz von Vielfalt aufgegriffen werden. - Prävention und Gesundheitsförderung (PG)
Der Mathematikunterricht ermöglicht den Kindern, sich im täglichen Handeln als selbstwirksam zu erleben. Wertschätzendes Kommunizieren und Handeln sind von zentraler Bedeutung. Kinder werden unterstützt, altersspezifische Entwicklungsaufgaben bewältigen zu können. Sie lernen mit Lernstrategien umzugehen, diese anzunehmen und zu nutzen. - Berufliche Orientierung (BO)
Die unter der Leitperspektive "Berufliche Orientierung" gefassten Aspekte ermöglichen den Schülerinnen und Schülern, sich auch im Fach Mathematik mit der Arbeits- und Berufswelt auseinanderzusetzen und zu erkennen, dass die in der Schule erworbenen Kompetenzen hierbei bedeutsam sind. Die Kinder bringen ihre Stärken und Neigungen mit ihren Zukunftsvorstellungen in Zusammenhang. Dabei werden ihre individuellen Interessen und Potenziale gendersensibel berücksichtigt und gefördert. - Medienbildung (MB)
Den Umgang mit Medien üben die Schülerinnen und Schüler durch deren angemessenen Einsatz. Medien finden ihre Anwendung sowohl bei der Beschaffung von Informationen als auch als Hilfsmittel beim Problemlösen zum Beispiel bei der Visualisierung von mathematischen Inhalten wie Diagrammen. Auch bei der Präsentation von Arbeitsprozessen und ‑ergebnissen steigern die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen im Bereich der Medienbildung, lernen die Vorzüge und den Umgang mit Medien kennen und erkennen deren Grenzen. - Verbraucherbildung (VB)
Der Mathematikunterricht zeigt in lebensweltorientierten und altersentsprechenden Aufgabenstellungen Aspekte der Verbraucherbildung auf, wie zum Beispiel Zusammenhänge von Bedürfnissen und Wünschen sowie von Produktion und Konsum. Er unterstützt die Schülerinnen und Schüler, für ihr Konsumhandeln Verantwortung zu übernehmen.
1.2 Kompetenzen
Die Konzeption des Bildungsplans weist prozessbezogene Kompetenzen und Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen aus, die stets zusammen zu denken sind. In ihrer Zusammenführung werden sie zu einem tragfähigen Gewebe, das – bezogen auf die Situation vor Ort und auf die Bedürfnisse der Kinder – individuell verfeinert und weiter gewoben wird.
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Grundlage für die prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen sind die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Beschluss der KMK vom 15.10.2004 i.d.F. vom 23.06.2022) sowie die „Empfehlungen zur Arbeit in der Grundschule“ von 2015.
Prozessbezogene Kompetenzen
Für ein erfolgreiches Mathematiklernen mit dem Ziel, Verständnis für mathematische Inhalte aufzubauen, sind vor allem die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen von zentraler Bedeutung. Sie verdeutlichen, dass mathematische Grundbildung die Aneignung von Wissen und Fertigkeiten wie auch die Art und Weise der Auseinandersetzung mit Mathematik umfasst. Die Entwicklung einer mathematischen Grundbildung hängt nicht nur von den Unterrichtsinhalten, sondern auch davon ab, in welchem Maße Kinder Gelegenheit bekommen, selbst Probleme mit und ohne Anwendungsbezug zu lösen, eigene Lösungswege zu beschreiben, Begründungen für mathematische Gesetzmäßigkeiten zu finden oder geeignete Darstellungen beim Problemlösen zu entwickeln. Je besser es gelingt, den Mathematikunterricht an den prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen auszurichten, desto eher lassen sich positive Einstellungen zur Mathematik aufbauen und Freude an mathematischem Tun fördern.
Dabei sind folgende prozessbezogene Kompetenzen für den Mathematikunterricht von zentraler Bedeutung:
- Mathematisch kommunizieren
Mathematische Kommunikation über mathematische Inhalte erfolgt in kooperativen und interaktiven Unterrichtsprozessen.
Die Kinder teilen hierbei anderen eigene Gedanken mit und lernen Gedankengänge anderer nachzuvollziehen, zu beschreiben und zu bewerten. Dabei wenden sie mathematische Fachbegriffe und Zeichen an. Der Mathematikunterricht schafft stetig Situationen, in denen Möglichkeiten zu einer konstruktiven kommunikativen Auseinandersetzung mit mathematischen Sachverhalten gegeben sind.
- Mathematisch argumentieren
Mathematisches Argumentieren baut auf konkreten fachlichen Anlässen auf. Die Schülerinnen und Schüler gewinnen zunehmend Sicherheit, um mathematische Aussagen sprachlich zu fassen, Vermutungen anzustellen, diese zu hinterfragen und zu überprüfen, Lösungswege zu begründen und zu diskutieren, verschiedene Standpunkte einzubringen und sich mit unterschiedlichen Sichtweisen auseinanderzusetzen. In kooperativen Arbeitsformen und im Klassengespräch werden soziales und vertiefendes kognitives Lernen gefördert.
- Probleme mathematisch lösen
Probleme mathematisch lösen meint, dass der Lösungsansatz bei einem mathematischen Problem für die Kinder nicht offensichtlich ist und/oder ihnen Lösungsverfahren noch nicht zur Verfügung stehen. Die Kinder müssen die Bereitschaft und die Fähigkeit entwickeln, Probleme zu erfassen, zu beschreiben, unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten auszuprobieren, zunehmend zu systematisieren und Lösungsstrategien zu finden – allein und gemeinsam. - Mathematisch modellieren
Mathematisches Modellieren ist das Bindeglied zwischen Umwelt (ökologische und gesellschaftliche Dimension) und Mathematik. Es umfasst das Strukturieren, Vereinfachen und Übersetzen eines Sachverhalts oder Problems aus der Umwelt in eine mathematische Struktur (Mathematisieren), das Bearbeiten des Problems innerhalb der mathematischen Struktur (im Modell arbeiten), das Übertragen der Lösung auf das reale Problem (Interpretieren) und das Prüfen der Angemessenheit dieser Lösung für das ursprüngliche Problem (Validieren). Im Mathematikunterricht werden von Beginn an Anknüpfungspunkte für Modellierungsprozesse angeboten.
- Mit mathematischen Darstellungen umgehen
Mit mathematischen Darstellungen umgehen befähigt die Schülerinnen und Schüler ihre Vorgehensweise und Arbeitsergebnisse zu dokumentieren. Die Kinder präsentieren ihre Ideen, Lösungswege und Ergebnisse und tauschen sich darüber aus. Hierbei verwenden sie zunehmend Fachbegriffe und mathematische Zeichen. In gemeinsamer Reflexion lernen sie, verschiedene Darstellungen zu vergleichen und zu bewerten.
- Mit mathematischen Objekten und Werkzeugen arbeiten
Mit mathematischen Objekten und Werkzeugen arbeiten ist der sichere Umgang mit den im Mathematikunterricht relevanten mathematischen Objekten. Er umfasst auch den adäquaten Umgang mit mathematischen Werkzeugen. Die Kinder lernen, sicher und angemessen mit mathematischen Objekten und Werkzeugen umzugehen. Mathematische Objekte können dabei beispielsweise unterschiedliche Zahldarstellungen, Tabellen oder Diagramme sein. Sie sind die grundlegenden Bausteine, mit denen in der Mathematik gearbeitet wird. Mathematische Werkzeuge können sowohl physische Werkzeuge wie Zirkel, Lineal oder Taschenrechner sein, als auch digitale Mittel oder mathematische Notationen und Schreibweisen. Sie unterstützen das Verständnis und die Anwendung mathematischer Konzepte und Verfahren. Der sichere Umgang mit diesen Objekten und Werkzeugen ist ein wichtiger Teil des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Er ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern, mathematische Aufgaben und Probleme effizient und zielgerichtet zu bearbeiten. Die Kinder verknüpfen alltagsgebundene Sprechweisen mit symbolischen und formalen Ausdrucksweisen und nutzen diese angemessen.
Sie verwenden mathematisch geeignete Begriffe und Zeichen adressatenbezogen und gehen sachgerecht mit mathematischen Objekten und Werkzeugen um. Darüber hinaus verfügen sie über ein Fakten- und Regelwissen zum zielgerichteten und effizienten Bearbeiten von Aufgabenstellungen.
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Die Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen beziehen sich im Unterricht aufeinander und werden miteinander vernetzt, sodass einem isolierten Wissenserwerb entgegengewirkt wird. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen sind von grundlegender fachlicher Bedeutung und können nur im Zusammenwirken mit den prozessbezogenen Kompetenzen erreicht werden.
Der Bereich „Muster und Strukturen und funktionaler Zusammenhang“ (vgl., Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 15.10.2004, i. d. F. vom 23.06.2022) greift den Wesenskern der Mathematik, grundlegende Regel- und Gesetzmäßigkeiten inhaltlich zu erfassen, zu erklären und zu Problemlösungen zu nutzen auf. Das Erkennen von Mustern, Strukturen und funktionalen Zusammenhängen stellt eine übergeordnete Bedeutung dar und steht beim Erwerb der mathematischen Kompetenzen regelmäßig im Mittelpunkt der Auseinandersetzung mit den Inhalten.
Demzufolge wird der Bereich „Muster und Strukturen und funktionaler Zusammenhang“, in dem das Erkennen, Beschreiben und Darstellen von Gesetzmäßigkeiten und funktionalen Beziehungen verankert ist, als übergreifendes Prinzip angesehen. Anders als in den KMK Bildungsstandards wird er daher nicht eigenständig ausgewiesen, sondern in alle Leitideen integriert:
- Zahlen und Operationen
- Raum und Form
- Größen und Messen
- Daten und Zufall
1.3 Didaktische Hinweise
Sprache
Um die beschriebenen Kompetenzen herauszubilden, ist die Versprachlichung von mathematischen Sachverhalten für das Lernen von grundlegender Bedeutung. Sie beginnt bei der Beschreibung von Handlungen, Vorgehensweisen oder Lösungswegen mithilfe der Alltagssprache der Kinder und führt allmählich zur formalen Sprache der Mathematik. Sprachliche Kompetenzen werden insbesondere beim Kommunizieren und Argumentieren gefordert und gefördert.
Unterrichtskultur
Es ist eine Unterrichtskultur erforderlich, die den Kindern einen verstehenden Umgang mit Mathematik im Austausch mit anderen Kindern ermöglicht. Diese zeichnet sich durch folgende Merkmale aus:
- Aktiv-entdeckendes Lernen
Entdeckendes Lernen ist Unterrichtsprinzip in allen Klassenstufen. Es weckt Neugier, fordert Kreativität und Anstrengungsbereitschaft heraus. Die Schülerinnen und Schüler können vor allem dann individuelle Lösungsansätze und Strategien entwickeln sowie mathematische Strukturen und Gesetzmäßigkeiten entdecken, wenn sie mit herausfordernden Fragestellungen in offenen Aufgaben konfrontiert werden. - Handlungsorientierung
Handlungsorientiertes und entdeckendes Lernen sind Voraussetzung für verstehenden Mathematikunterricht. Durch ein Zusammenspiel von Handeln und Reflektieren entstehen Denkstrukturen. Handlungsorientierung ermöglicht jedem Kind, auf seiner Stufe des Könnens zu arbeiten. Aufgaben können handelnd mit Material, auf zeichnerische Hilfen gestützt oder auf symbolischer Ebene gelöst werden. Geeignete Veranschaulichungen dienen auch dazu, Entdeckungen zu begründen und das Verständnis insbesondere für Zahlen und Rechenoperationen wach zu halten. Sprachliche Beschreibungen des Vorgehens unterstützen dabei den Verstehensprozess. - Diagnose und Förderung
Diagnosen dienen dazu, Lernstände zu erfassen und hieraus für jedes Kind individuell angepasste pädagogische Förderprozesse abzuleiten. Informelle Testverfahren wie „lautes Denken“ und Nachfragen nach Vorgehensweisen ermöglichen zu erkennen, welche Vorstellung das Kind bereits aufgebaut hat. Auf diese Weise kann die Lernentwicklung eines jeden Kindes gezielt verfolgt, gefördert und unterstützt werden. - Individuelles und gemeinsames Lernen
Lernen ist ein konstruktiver und individueller Prozess, der in Abhängigkeit von den Vorerfahrungen und Vorkenntnissen der Kinder sowie mit unterschiedlichen Zugangsweisen erfolgt. Insofern muss Unterricht sowohl Möglichkeiten für die individuelle Auseinandersetzung mit einem Sachverhalt als auch für den Austausch von Lösungsideen, Lösungswegen und Entdeckungen eröffnen. Angestrebt wird eine Ausgewogenheit zwischen dem Lernen auf eigenen Wegen und dem Lernen voneinander und miteinander. - Üben
Die fachdidaktischen Prinzipien des handlungsorientierten und entdeckenden Lernens sind auch für das Üben zentral. Automatisierendes Üben dient insbesondere der Sicherung von Grundkenntnissen, die für ein erfolgreiches Weiterlernen notwendige Voraussetzung sind. Ebenso unverzichtbar ist es aber auch, produktiv zu üben. Dabei werden Üben und Entdecken miteinander verbunden und grundlegende Wissenselemente und Fertigkeiten in sinnvollen Zusammenhängen geübt. Das können innermathematische Fragestellungen und mathematische Gesetzmäßigkeiten wie auch Anwendungsbezüge sein. - Aufgabenkultur
Entscheidend für einen Mathematikunterricht im bisher beschriebenen Sinne sind Aufgaben, die so gestaltet sind, dass sich Kinder aktiv und nachhaltig mit Mathematik auseinandersetzen können und dabei prozessbezogene mathematische Kompetenzen erwerben. Lernangebote mit offenen Aufgaben werden der Heterogenität von Schülerinnen und Schülern in einer Klasse gerecht. Im Sinne der natürlichen Differenzierung arbeiten alle am gleichen Inhalt, aber unter Berücksichtigung unterschiedlicher Anforderungen und Schwierigkeiten. Mathematisch begabte Kinder werden so gefordert und gefördert und schwächere Schülerinnen und Schüler können Aufgaben im Umfeld einer gemeinsamen Aufgabenstellung bearbeiten und dadurch mit ihren Mitschülerinnen und Mitschülern über mathematische Fragestellungen ins Gespräch kommen.Es lassen sich drei Anforderungsbereiche unterscheiden: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen sowie Verallgemeinern und Reflektieren. Im Allgemeinen nehmen Anspruch und kognitive Komplexität von Anforderungsbereich I bis Anforderungsbereich III zu. Die Auseinandersetzung mit Aufgabenstellungen zu allen drei Anforderungsbereichen ist für alle Schülerinnen und Schüler – unabhängig vom mathematischen Leistungsvermögen – von zentraler Bedeutung, um erfolgreich und nachhaltig prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen auf- und auszubauen.
Folgende drei Anforderungsbereiche (Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen und Verallgemeinern und Reflektieren) lassen sich unterscheiden und beschreiben:
Anforderungsbereich I, das Reproduzieren, umfasst die Wiedergabe von Grundwissen, Ausführen von Routinetätigkeiten und die direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen und Verfahren.
Anforderungsbereich II, Zusammenhänge herstellen, umfasst das Erkennen mathematischer Zusammenhänge und Verknüpfen von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung mathematischer Aufgabenstellungen.
Anforderungsbereich III, das Verallgemeinern und Reflektieren, umfasst das Übertragen von Erkenntnissen mathematischer Zusammenhänge auf unbekannte Fragestellungen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und reflektieren Strategien und Begründungen. Daraus leiten sie Folgerungen ab.
Der Erwerb der prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen erfolgt in der aktiven Auseinandersetzung mit mathematischen Aufgabenstellungen und Anforderungen. Mittels der Anforderungsbereiche werden zudem mathematisch begabte Kinder gefordert und gefördert und schwächere Schülerinnen und Schüler können Aufgaben im Umfeld einer gemeinsamen Aufgabenstellung bearbeiten und dadurch mit ihren Mitschülerinnen und Mitschülern über mathematische Fragestellungen ins Gespräch kommen.
- Fehlerkultur
Fehler sind unvermeidlich beim Lernen, sie weisen auf subjektive Strategien hin und verdeutlichen die Stellung eines Kindes im Lernprozess. Sie werden in den Unterricht einbezogen und als Lernchance angesehen und genutzt. Wenn über Fehler und ihr Zustandekommen gesprochen wird und fehlerhafte Lösungswege anschaulich verdeutlicht und nachvollziehbar werden, entstehen Voraussetzungen für ein erfolgreiches Weiterlernen. - Besonderen Schwierigkeiten beim Erlernen des Rechnens begegnen
Handlungsorientierung auf der Basis eines zentralen Anschauungsmittels für den Zahlenraum bis 20 und die Fokussierung auf Zahl- und Aufgabenbeziehungen durch Anregungen zur Reflexion durchgeführter oder auch mentaler Handlungen wirken in hohem Maße präventiv und beugen Rechenschwierigkeiten vor. Alle beschriebenen didaktischen Grundsätze gelten auch dann, wenn Kinder eine Rechenstörung entwickelt haben. Wie bei anderen Kindern auch, stehen bei ihnen nicht die richtigen und falschen Ergebnisse im Zentrum der Aufmerksamkeit, sondern die jeweiligen Löseprozesse. Diese sind nötig, um das Mathematiklernen dieser Kinder besser zu verstehen und an vorhandene Kompetenzen anknüpfen zu können. Insbesondere muss ein sich verfestigendes zählendes Rechnen im Laufe der ersten Klasse erkannt werden, um ihm rechtzeitig entgegenzuwirken. - Fachübergreifendes Lernen und Lebensweltbezug
Mathematik ist wechselseitig mit anderen Fächern vernetzt. Einerseits liefert die Mathematik Werkzeuge zur Klärung von Fragen und Problemstellungen der Fächer. Andererseits können Sachsituationen, zum Beispiel im Zusammenhang mit den Leitperspektiven, den Ausgangspunkt für Lernprozesse liefern. So können mathematische Begriffe in besonderer Weise veranschaulicht werden und als Feld für vielfältiges Üben dienen. Außerschulische Lernorte bieten Gelegenheiten, um Impulse für eine lebensnahe Gestaltung des Mathematikunterrichts aufzunehmen.