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Mathematik I

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Vorbemerkungen

Fachliche Vorbemerkungen

1. Fachspezifischer Bildungsauftrag
Mathematische Anwendungen finden sich in unterschiedlichen Bereichen unserer Lebens- und Arbeitswelt, sie bilden die Grundlage für viele gesellschaftliche Entscheidungen und wissenschaftliche Entwicklungen.
Der Unterricht macht in diesem Sinne sichtbar, wie Fragestellung aus der alltäglichen Welt mathematisiert werden können und vermittelt so eine spezifische Sichtweise auf Probleme. Insbesondere richtet er seinen Blick hierbei auf naturwissenschaftliche Fragestellungen.
Aus dieser mathematischen Sichtweise und der Auseinandersetzung mit Aufgaben erwächst eine generelle Problemlösefähigkeit, die über die Mathematik hinausgeht und in der modernen Arbeitswelt häufig verlangt wird.

2. Fachliche Aussagen zum Kompetenzerwerb, prozessbezogene Kompetenzen
Das Fach „Mathematik I“ fördert die Kompetenz des strukturierten Denkens und vermittelt Techniken, um Lösungswege, Daten und Ergebnisse übersichtlich und nachvollziehbar darzustellen beziehungsweise zu interpretieren. Insbesondere werden die Schülerinnen und Schüler so in die Lage versetzt, eigenständig reale Vorgänge zu modellieren.
Das Verständnis für funktionale Zusammenhänge sowie der sichere Umgang mit grundlegenden Begriffen und Methoden der Mathematik bilden hierfür die Basis. Die Beherrschung der Gesetze der Algebra sind Voraussetzung für die Lösung von Problemen und quantitativer Aufgaben aus dem naturwissenschaftlichen Bereich. An dieser Stelle werden praktische Inhalte aus der Labortätigkeit durch theoretische Grundlagen vertieft.

3. Ergänzende fachliche Hinweise
Der Unterricht soll die Möglichkeit eröffnen, Erfahrungen mit digitalen Mathematikwerkzeugen zu machen, insbesondere um Beispiele erzeugen und analysieren zu können oder mit realistischen Datenmengen zu arbeiten.
Zudem bildet das Fach „Mathematik I“ die Voraussetzung für den Zusatzunterricht zur Fachhochschulreife.

Hinweise zum Umgang mit dem Bildungsplan
Bildungsplaneinheit (BPE) werden in kursiver Schrift die übergeordneten Ziele beschrieben, die durch Zielformulierungen sowie in jeweils einer Inhalts- und Hinweisspalte konkretisiert werden. In den Zielformulierungen werden die jeweiligen fachspezifischen Operatoren als Verben verwendet. Operatoren sind handlungsinitiierende Verben, die signalisieren, welche Tätigkeiten beim Bearbeiten von Aufgaben erwartet werden; eine Operatorenliste ist jedem Bildungsplan im Anhang beigefügt. Durch die kompetenzorientierte Zielformulierung mittels dieser Operatoren wird das Anforderungsniveau bezüglich der Inhalte und der zu erwerbenden Kompetenzen definiert. Die formulierten Ziele und Inhalte sind verbindlich und damit prüfungsrelevant. Sie stellen die Regelanforderungen im jeweiligen Fach dar. Die Inhalte der Hinweisspalte sind unverbindliche Ergänzungen zur Inhaltsspalte und umfassen Beispiele, didaktische Hinweise und Querverweise auf andere Fächer bzw. BPE.
Der VIP-Bereich des Bildungsplans umfasst die Vertiefung, individualisiertes Lernen sowie Projektunterricht. Im Rahmen der hier zur Verfügung stehenden Stunden sollen die Schülerinnen und Schüler bestmöglich unterstützt und bei der Weiterentwicklung ihrer personalen und fachlichen Kompetenzen gefördert werden. Die Fachlehrerinnen und Fachlehrer nutzen diese Unterrichtszeit nach eigenen Schwerpunktsetzungen auf Basis der fächer- und bildungsgangspezifischen Besonderheiten sowie nach den Lernvoraussetzungen der einzelnen Schülerinnen und Schüler.
Der Teil „Zeit für Leistungsfeststellung“ des Bildungsplans berücksichtigt die Zeit, die zur Vorbereitung, Durchführung und Nachbereitung von Leistungsfeststellungen zur Verfügung steht. Dies kann auch die notwendige Zeit für die im Rahmen der Besonderen Lernleistungen erbrachten Leistungen, Nachbesprechung zu Leistungsfeststellungen sowie Feedback-Gespräche umfassen.

Bildungsplanübersicht

Schuljahr

Bildungsplaneinheiten

Zeitricht-wert

Gesamt-stunden

Schuljahr 1

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

1	Vertiefung der Mathematik aus Sekundarstufe I

2	Potenzfunktionen und zugehörige Gleichungen

3	Polynomfunktionen und zugehörige Gleichungen

4	Exponentialfunktionen und zugehörige Gleichungen

105

Zeit für Leistungsfeststellung

120

Schuljahr 2

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

5	Vektorrechnung

6	Trigonometrische Funktionen

7*	Komplexe Zahlen

8*	Näherungsverfahren

Zeit für Leistungsfeststellung

* Von den Wahlgebieten der BPE 7 und 8 ist eines zu unterrichten.

Schuljahr 1

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

Vertiefung	Individualisiertes Lernen	Projektunterricht
z. B. Übungen Anwendungen Wiederholungen	z. B. Selbstorganisiertes Lernen Lernvereinbarungen Binnendifferenzierung	z. B. Daten erheben, auswerten und interpretieren Modellierung, Regression Interpolation

Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung fächerverbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 1	Vertiefung der Mathematik aus Sekundarstufe I	25
Die erste Bildungsplaneinheit umfasst Themen, die die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I bereits kennengelernt haben können, die jedoch im Verlauf des ersten Ausbildungsjahres in unterschiedlichen Aspekten vertieft und erweitert werden. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln eine Grundvorstellung mathematischer Begriffe, die es ihnen erlaubt, Inhalte zu verknüpfen und mathematische Aussagen selbstständig abzuleiten. Sie lernen an einzelnen Beispielen den Beweis als wesentliches Element der Mathematik kennen und erfahren so ein tieferes Verständnis mathematischer Inhalte.

BPE 1.1

Die Schülerinnen und Schüler begründen die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen. Sie geben Teilmengen der reellen Zahlen mithilfe von Mengensymbolen, durch Ungleichungen sowie in Intervallschreibweise an.

Zahlenmengen: \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)
Teilmengen der reellen Zahlen	\(x \in \mathbb{R}_{+}\) bzw. \(x > 0\) bzw. \(x\) \(\in ]0;\infty[\)
Intervalle	Einführung im Zusammenhang mit Definitions- und Wertebereich von Funktionen oder bei Ungleichungen

BPE 1.2

Die Schülerinnen und Schüler erläutern den Funktionsbegriff an Beispielen aus dem Alltag. Sie geben an, ob eine gegebene Zuordnung eindeutig oder nicht eindeutig ist. Darüber hinaus erläutern sie die Begriffe Definitions- sowie Wertebereich und ermitteln diese anhand einer grafisch, algebraisch oder verbal gegebenen Funktion, auch im Kontext einer Anwendungssituation.

Zuordnungen: eindeutig/nicht eindeutig
Funktionsbegriff
Definitions- und Wertebereich	z. B. \(f(x) = \sqrt{2x – 1}\) mit \(D_{f} = [0,5;\infty[\) und \(W_{f} = [0;\infty[\) Geschwindigkeit – Bremsweg mit \(D = \mathbb{R}_{+}\) und \(W = \mathbb{R}_{+}\) Stückzahlen – Produktionskosten mit \(D = \mathbb{N}\) und \(W = \mathbb{R}_{+}\)

BPE 1.3

Die Schülerinnen und Schüler geben Funktionen durch Tabellen, Gleichungen, Funktionsgraphen oder Texte an. Sie wechseln zwischen den Darstellungsformen und bewerten diese im jeweiligen Kontext. Sie ermitteln abhängige und unabhängige Variablen, beschreiben deren Zusammenhang und nennen charakteristische Wertepaare. Die Schülerinnen und Schüler erläutern Zusammenhänge zwischen den Funktionsdarstellungen unter Verwendung von Fachsprache und mathematischer Symbolschreibweise.

Darstellung von Funktionen
tabellarisch	Messwerte: Gewicht, Wasserstand \(f(x) = 2x\); \(f:x \mapsto x^{2} + 1b\)
algebraisch	verschiedene Gleichungsformen derselben Funktion wie \(y = mx + b\); \(y = m(x+ \frac{b}{m})\)
grafisch	die Graphen, Gefäßformen – Füllhöhe
verbal	Zuordnung von Kreisradius und Kreisfläche
Schreib- und Sprechweisen	\(f(2) = 4\) Der Punkt liegt auf dem Funktionsgraphen von Der Graph von verläuft unterhalb der x-Achse \(g(x) <0\) für alle \(x \in D_{g}\) \(f(3) = g(3) = - 7\) Die Funktionsgraphen von und haben den gemeinsamen Punkt

BPE 1.4

Die Schülerinnen und Schüler deuten Geraden als Graphen linearer Funktionen. Sie geben die Gleichungen besonderer Geraden an und begründen, dass eine Parallele zur y-Achse nicht Graph einer Funktion ist. Sie berechnen den Steigungswinkel einer Geraden und deuten ihn grafisch. Ebenso untersuchen die Schülerinnen und Schüler die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen und der Orthogonalitätsbedingung.

Geraden als Graph linearer Funktionen
Besondere Geraden
Parallelen zu den Koordinatenachsen	\(x = 2\) bzw. \(y = 3\)
erste und zweite Winkelhalbierende
Steigungswinkel einer Geraden	\(\alpha\) = arctan (m)
Lagebeziehung zweier Geraden
Orthogonalitätsbedingung

BPE 1.5

Die Schülerinnen und Schüler deuten Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke und wenden verschiedene Darstellungsformen an. Sie erläutern an Beispielen, dass die Rechengesetze für das Multiplizieren, das Dividieren und das Potenzieren von Potenzen auch für rationale Exponenten gelten und wenden diese Rechengesetze an.

Potenzen mit rationalen Exponenten	\(a^{0}=1\); \(a^{-r}=\frac{1}{a^{r}}\), \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}\) z. B. vor den Potenzfunktionen oder vor den Exponentialfunktionen
Potenzgesetze

BPE 2	Potenzfunktionen und zugehörige Gleichungen	10
Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Kenntnisse über lineare und quadratische Funktionen auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen und gebrochenen Hochzahlen. Sie entdecken die charakteristischen Eigenschaften der Graphen dieser Funktionen und setzen diese in Beziehung zum Funktionsterm.

BPE 2.1

Die Schülerinnen und Schüler skizzieren Graphen von Potenzfunktionen. Sie ermitteln die Eigenschaften von Potenzfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und Funktionsgraphen.

Funktionstypen
\(f(x) = x^{n}\); \(n \in \mathbb{N}\) \(f(x) = x^{- n}\); \(n \in \mathbb{N}\) \(f(x) = x^{\frac{1}{n}}\); \(n \in \mathbb{N}\)
Funktionsgraphen
globales Verhalten \(K_{f}: I \rightarrow II\) bzw. für \( x \rightarrow \pm \infty\) gilt \(f(x) \rightarrow\) …	in Abhängigkeit von a bei \(f(x) = a \cdot x^{2}\)
Symmetrie: zum Ursprung: \( - f( - x) = f(x)\) und zur y-Achse: \(f( - x) = f(x)\)

BPE 2.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben anhand von Funktionstermen und Funktionsgraphen, wie ein Graph mittels Transformationen – unter Berücksichtigung der Reihenfolge – aus dem Graphen der unten aufgeführten Funktionen entsteht. Sie geben zu einer verbal oder grafisch gegebenen Transformation den zugehörigen Funktionsterm an.

Transformationen
Spiegelung an der x-Achse Spiegelung an der y-Achse Streckung in y-Richtung Streckung in x-Richtung Verschiebung in y-Richtung
Verschiebung in x-Richtung	z. B. Veränderung der Symmetrieachse durch Verschiebung der Parabel

BPE 2.3

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Lösungen einfacher Potenzgleichungen algebraisch. Sie begründen die Notwendigkeit einer Probe beim Lösen einer Wurzelgleichung.

Potenzgleichungen	\(x^{3} = 5\); \(x^{4} = 6\); \(x^{-2} = 8\); \(x^{-2} = - 8\); \(x^{\frac{1}{2}}=4\) \(\sqrt{x – 1} = - 1\)
Umkehrung der Rechenoperationen	bei Wurzelgleichungen mit Probe

BPE 3	Polynomfunktionen und zugehörige Gleichungen	20
Die Schülerinnen und Schüler lernen Polynomfunktionen und deren Graphen kennen. Sie entdecken die charakteristischen Eigenschaften der Graphen dieser Funktionen und erweitern ihre mathematische Ausdrucksfähigkeit, indem sie Zusammenhänge zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erläutern. In einfachen Fällen lösen die Schülerinnen und Schüler Polynomgleichungen und verknüpfen dabei formales Rechnen mit der Veranschaulichung durch entsprechende Funktionsgraphen.

BPE 3.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Polynomfunktionen mithilfe unterschiedlicher Darstellungsformen und begründen die Wahl der Form im mathematischen bzw. im anwendungsorientierten Kontext.

Polynomfunktion n-ten Grades
Darstellungsformen
allgemeine Form	\(f(x)=x^{5} – 2x^{3} + 4x\)
Produktform	\(f(x) = 3(x-2)(x+1)^{3}\)
Scheitelform der Parabel	z. B. \(f(x) = 0,5(x – 3)^{2} + 5\)

BPE 3.2

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Eigenschaften von Polynomfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und skizzieren die Funktionsgraphen. Sie geben die Eigenschaften auch mit mathematischer Symbolsprache an. Darunter hinaus zeichnen die Schülerinnen und Schüler einen Funktionsgraphen mithilfe einer Wertetabelle.

Funktionsgraph
globales Verhalten \(K_{f}: I \rightarrow II\) bzw. für \( x \rightarrow \pm \infty\) gilt \(f(x) \rightarrow\) …
Symmetrie: zum Ursprung, zur y-Achse \( - f( - x) = f(x)\), \(f( - x) = f(x)\)	nur gerade bzw. ungerade Exponenten \(f(x)=2x^{4} – 3x^{2}\) \(f(x)=x^{3} + tx^{2}+x\)
gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen	\(f(x)=-2x^{3} + 4x\) \(f(x) = 3(x-t)(x+1)^{3}\) Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit von Fundamentalsatz der Algebra

BPE 3.3

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen aus grafisch, tabellarisch oder verbal gegebenen Funktionseigenschaften einen geeigneten Ansatz und Bedingungen, die zur Ermittlung des Funktionsterms dienen. Ebenso ermitteln sie in geeigneten Fällen den Funktionsterm.

Aufstellen von Funktionstermen aus	z. B. \(f(x)=ax^{4} + bx^{2}+2\) \(f(x)= \frac{1}{3} x^{3} + 3x^{2}\) \(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}\)
Funktionsgraph Text Wertetabelle

BPE 3.4

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Lösung von Polynomgleichungen algebraisch und begründen die Auswahl der jeweiligen Lösungsstrategie. Sie deuten die berechneten Lösungen grafisch als Nullstellen einer Funktion beziehungsweise als Schnittstellen zweier Funktionen.

Lösen von Gleichungen
Umkehrung von Rechenoperationen	z. B. \(x^{5} = - 2\)
Faktorisierung durch Ausklammern und Satz des Nullprodukts	z. B. \(0=3x^{5} – tx^{2}\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Substitution
numerische Lösung	Wertetabelle

BPE 3.4

Die Schülerinnen und Schüler deuten Polynomfunktionen und ihre Eigenschaften in einem gegebenen Sachzusammenhang, zum Beispiel aus der Physik, Wirtschaft, Technik oder Naturwissenschaft.

Polynomfunktionen in Anwendungen

Wurfparabel, Brückenbogen, Kostenfunktion

BPE 4	Exponentialfunktionen und zugehörige Gleichungen	20
Die Schülerinnen und Schüler lernen die Exponentialfunktionen zur Beschreibung von exponentiellen Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen kennen. Sie entdecken die charakteristischen Eigenschaften der Graphen dieser Funktionen und setzen diese in Beziehung zum Funktionsterm. Darüber hinaus transformieren sie diese Funktionsgraphen und beschreiben die Transformationen anhand des Funktionsterms. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Funktionsterme aus vorgegebenen Eigenschaften und lernen den Logarithmus als Hilfsmittel zur Lösung von Exponentialgleichungen kennen und entdecken die Zahl als besondere Basis.

BPE 4.1

Die Schülerinnen und Schüler leiten anhand des Funktionsterms und des Funktionsgraphen ab, dass es sich bei einer gegebenen Funktion um eine Exponentialfunktion handelt. Sie geben einen Näherungswert der Euler'schen Zahl \(e\) an, nennen die besondere Bedeutung der Basis \(e\) bei Exponentialfunktionen und wenden die Darstellung mit einer beliebigen Basis und der Basis \(e\) an.

Exponentialfunktionen
zur Basis mit \(q>0\) und \(q \ne 1\)
zur Basis \(e\)	z. B. \(f(x) = 2^{x} = e^{ln(2) \cdot x}\)
Euler'sche Zahl	z. B. stetige Verzinsung z. B. im Kontext der Differenzialrechnung

BPE 4.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben anhand von Funktionstermen oder Funktionsgraphen, wie der Graph einer Exponentialfunktion mittels Transformationen – unter Berücksichtigung der Reihenfolge – aus dem Funktionsgraphen \(y = e^{x}\) entsteht. Sie geben zu einer verbal oder grafisch gegebenen Transformation den zugehörigen Funktionsterm an.

Transformationen
Spiegelung an der y-Achse Spiegelung an der x-Achse
Streckung und Verschiebung in x-Richtung	Besonderheit: \(q^{x+2}=q^{2} \cdot q^{x}\)
Streckung und Verschiebung in y-Richtung
Reihenfolge der Transformationen

BPE 4.3

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Eigenschaften von Exponentialfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und skizzieren die Funktionsgraphen. Sie geben die Eigenschaften auch mit mathematischer Symbolsprache an und zeichnen einen Funktionsgraphen mithilfe einer Wertetabelle.

Graph der Funktion	\(f(x) = - 3e^{-0,5x}+t\)
globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\): asymptotisches Verhalten	für \(x \rightarrow \infty\) gilt \(f(x) \rightarrow t\)
globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\): Gleichung der Asymptote	\(y = t\)
globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\): \(f(x) \rightarrow \pm \infty\)	für \(x \rightarrow - \infty\) gilt \(f(x) \rightarrow - \infty\)
gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen
steigender bzw. fallender Verlauf	Einfluss der Parameter auf den Verlauf Wachstum, Zerfall

BPE 4.4

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen aus grafisch, tabellarisch oder verbal gegebenen Funktionseigenschaften einen geeigneten Ansatz und Bedingungen, die zur Ermittlung eines Funktionsterms dienen. Darunter hinaus ermitteln sie in geeigneten Fällen einen Funktionsterm.

Aufstellen von Funktionstermen aus
Funktionsgraph Text Wertetabelle	LGS mit zwei Unbekannten und nichtlineare Gleichungssysteme \(f(x)=ae^{bx}+d\) \(f(x)=aq^{x}+d\)

BPE 4.5

Die Schülerinnen und Schüler deuten den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung. Exponentialgleichungen lösen sie algebraisch und begründen die Auswahl der jeweiligen Lösungsstrategie. Die berechneten Lösungen interpretieren die Schülerinnen und Schüler grafisch als Nullstellen einer Funktion beziehungsweise als Schnittstellen zweier Funktionen.

Logarithmus
Lösen von Exponentialgleichungen	\(q^{x} = y \Leftrightarrow x = log_{q} (y)\) insbesondere \(q=2\) und \(q=10\) sowie \(q=e\) Vorkommen in Naturwissenschaft und Technik
Umkehrung von Rechenoperationen	\(4 \cdot 0,5^{x} =100\) \(e^{x} = 3\) \(2e^{x} - 4= 8\) \(2e^{-0,5x} = 6\) \(e^{x} = - 5\)
Faktorisierung durch Ausklammern und Satz des Nullprodukts	\(2e^{x} = e^{2x}\)
Substitution	\(2e^{x} - 3 = e^{2x}\)

BPE 4.6

Die Schülerinnen und Schüler erläutern den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Sie beschreiben exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen und deuten die Parameter des Funktionsterms \(f(x) = ae^{bx} + d\) oder \(f(x) = aq^{x} + d\) im Sachzusammenhang.

Lineares Wachstum (Zu- und Abnahme)	Abbrennen einer Kerze
Exponentielles Wachstum	Bakterienwachstum, Kapitalentwicklung, radioaktiver Zerfall, Entladung eines Kondensators
Beschränktes Wachstum	Aufladen eines Kondensators, Lösen eines Stoffes, Abkühlungskurven

Schuljahr 2

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

Vertiefung	Individualisiertes Lernen	Projektunterricht
z. B. Übungen Anwendungen Wiederholungen	z. B. Selbstorganisiertes Lernen Lernvereinbarungen Binnendifferenzierung	z. B. Mathematik in der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler: Mathematik und Sport, Mathematik und Kunst, Mathematik und Musik

Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung fächerverbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 5	Vektorrechnung	15
Die Schülerinnen und Schüler zeigen, dass Vektoren geeignete Hilfsmittel zur Beschreibung geometrischer Objekte und physikalischer Größen in der Ebene und im Raum sind.

BPE 5.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten Vektoren als Pfeilklassen im Raum und führen grundlegende Rechenoperationen in Koordinatenschreibweise und geometrisch durch.

Vektorbegriff	Pfeilklasse, Kraft, Geschwindigkeit
Addition von Vektoren S-Multiplikation Linearkombination Gegenvektor Nullvektor
dreidimensionales Koordinatensystem	Standarddarstellung
Skalarprodukt	physikalische Arbeit
Orthogonalität

BPE 6	Trigonometrische Funktionen	20
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben physikalische Schwingungen mithilfe von trigonometrischen Funktionen.

BPE 6.1

Die Schülerinnen und Schüler definieren den Sinus und den Kosinus eines Winkels am Einheitskreis und erweitern damit ihre Kenntnisse der Trigonometrie.
Sie entdecken die trigonometrischen Funktionen zur Mathematisierung periodischer Vorgänge und lernen die Eigenschaften der allgemeinen Sinus- bzw. Kosinusfunktion kennen. Darüber hinaus übertragen die Schülerinnen und Schüler bekannte Lösungsstrategien auf trigonometrische Gleichungen.

Schwingungen mathematisch gesehen
Bogenmaß Einheitskreis
Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion	Amplitude, Periode, Kreisfrequenz, Phase Verschieben und Strecken der Schaubilder
Überlagerung von Schwingungen
Zeigerdiagramm Schwebung
Überlagerung orthogonaler Schwingungen	Lissajous-Figuren

BPE 7*	Komplexe Zahlen	15
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die komplexen Zahlen und wenden diese bei algebraischen und physikalischen Problemen an.

BPE 7.1

Die Schülerinnen und Schüler stellen die Erweiterung des Zahlbegriffs auf komplexe Zahlen dar.

Definition der Gauß‘schen Zahlenebene
Grundrechenarten mit komplexen Zahlen in algebraischer Form	Permanenzprinzip
Rechenoperationen geometrisch darstellen	Anwendung in Wechselstromtechnik und Schwingungslehre
Polardarstellung
Lösen quadratischer Gleichungen	Einheitswurzeln

BPE 8*	Näherungsverfahren	15
Die Schülerinnen und Schüler begründen die Notwendigkeit, bestimmte mathematische Probleme näherungsweise zu lösen.

BPE 8.1

Die Schülerinnen und Schüler wenden verschiedene Verfahren zur näherungsweisen Lösung mathematischer Probleme an.

Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln	Verknüpfung mit IT: Programmieren
Näherungsweise Berechnung von Nullstellen
Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten

Operatorenliste

In den Zielformulierungen der Bildungsplaneinheiten werden Operatoren (= handlungsleitende Verben) verwendet. Diese Zielformulierungen legen fest, welche Anforderungen die Schülerinnen und Schüler in der Regel erfüllen. Zusammen mit der Zuordnung zu einem der drei Anforderungsbereiche (AFB; I: Reproduktion, II: Reorganisation, III: Transfer/Bewertung) dienen Operatoren einer Präzisierung der Zielformulierungen. Dies sichert das Erreichen des vorgesehenen Niveaus und die angemessene Interpretation der Standards.

Anforderungsbereiche:
Anforderungsbereich I umfasst die Reproduktion und die Anwendung einfacher Sachverhalte und Fachmethoden, das Darstellen von Sachverhalten in vorgegebener Form sowie die Darstellung einfacher Bezüge.
Anforderungsbereich II umfasst die Reorganisation und das Übertragen komplexerer Sachverhalte und Fachmethoden, die situationsgerechte Anwendung von technischen Kommunikationsformen, die Wiedergabe von Bewertungsansätzen sowie das Herstellen von Bezügen, um technische Problemstellungen entsprechend den allgemeinen Regeln der Technik zu lösen.
Anforderungsbereich III umfasst das problembezogene Anwenden und Übertragen komplexer Sachverhalte und Fachmethoden, die situationsgerechte Auswahl von Kommunikationsformen, das Herstellen von Bezügen und das Bewerten von Sachverhalten.

Operator	Erläuterung	Zuordnung Anforderungsbereiche
ableiten	auf der Grundlage relevanter Merkmale sachgerechte Schlüsse ziehen	II
abschätzen	auf der Grundlage von begründeten Überlegungen Größenordnungen angeben	II
analysieren, untersuchen	für eine gegebene Problem- oder Fragestellung systematisch bzw. kriteriengeleitet wichtige Bestandteile, Merkmale oder Eigenschaften eines Sachverhaltes oder eines Objektes erschließen und deren Beziehungen zueinander darstellen	II
anwenden, übertragen	einen bekannten Zusammenhang oder eine bekannte Methode zur Lösungsfindung bzw. Zielerreichung auf einen anderen, ggf. unbekannten Sachverhalt beziehen	II, III
aufbauen	Objekte und Geräte zielgerichtet anordnen und kombinieren	II
aufstellen	fachspezifische Formeln, Gleichungen, Gleichungssysteme, Reaktionsgleichungen oder Reaktionsmechanismen entwickeln	II
auswerten	Informationen (Daten, Einzelergebnisse o. a.) erfassen, in einen Zusammenhang stellen und daraus zielgerichtete Schlussfolgerungen ziehen	II, III
begründen	Sachverhalte oder Aussagen auf Regeln, Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge oder weitere nachvollziehbare Argumente zurückführen	II
benennen, nennen, angeben	Elemente, Sachverhalte, Begriffe, Daten oder Fakten ohne Erläuterung und Wertung aufzählen	I
beraten	eine Entscheidungsfindung fachkompetent und zielgruppengerecht unterstützen	III
berechnen	Ergebnisse aus gegebenen Werten/Daten durch Rechenoperationen oder grafische Lösungsmethoden gewinnen	II
beschreiben	Strukturen, Situationen, Zusammenhänge, Prozesse und Eigenschaften genau, sachlich, strukturiert und fachsprachlich richtig mit eigenen Worten darstellen, dabei wird auf Erklärungen oder Wertungen verzichtet	I, II
bestimmen	Sachverhalte und Inhalte prägnant und kriteriengeleitet darstellen	I
bestätigen, beweisen, nachweisen, überprüfen, prüfen	die Gültigkeit, Schlüssigkeit und Berechtigung einer Aussage (z. B. Hypothese, Modell oder Naturgesetz) durch ein Experiment, eine logische Herleitung oder sachliche Argumentation belegen bzw. widerlegen	III
beurteilen, Stellung nehmen	zu einem Sachverhalt oder einer Aussage eine eigene, auf Fachwissen sowie fachlichen Methoden und Maßstäben begründete Position über deren Sinnhaftigkeit vertreten	III
bewerten, kritisch Stellung nehmen	zu einem Sachverhalt oder einer Aussage eine eigene, auf gesellschaftlich oder persönliche Wertvorstellungen begründete Position über deren Annehmbarkeit vertreten	III
charakterisieren	spezifischen Eigenheiten von Sachverhalten, Objekten, Vorgängen, Personen o. a. unter leitenden Gesichtspunkten herausarbeiten und darstellen	II
darstellen, darlegen	Sachverhalte, Strukturen, Zusammenhänge, Methoden oder Ergebnisse etc. unter einer bestimmten Fragestellung in geeigneten Kommunikationsformaten strukturiert und ggf. fachsprachlich wiedergeben	I, II
diskutieren, erörtern	Pro- und Kontra-Argumente zu einer Aussage bzw. Behauptung einander gegenüberstellen und abwägen	III
dokumentieren	Entscheidende Erklärungen, Herleitungen und Skizzen zu einem Sachverhalt bzw. Vorgang angeben und systematisch ordnen	I, II
durchführen	eine vorgegebene oder eigene Anleitung bzw. Anweisung umsetzen	I, II
einordnen, ordnen, zuordnen, kategorisieren, strukturieren	Begriffe, Gegenstände usw. auf der Grundlage bestimmter Merkmale systematisch einteilen; so wird deutlich, dass Zusammenhänge unter vorgegebenen oder selbst gewählten Gesichtspunkten begründet hergestellt werden	II
empfehlen	Produkte und Verhaltensweisen kunden- und situationsgerecht vorschlagen	II
entwickeln, entwerfen, gestalten	Wissen und Methoden zielgerichtet und ggf. kreativ miteinander verknüpfen, um eine eigenständige Antwort auf eine Annahme oder eine Lösung für eine Problemstellung zu erarbeiten oder weiterzuentwickeln	III
erklären	Strukturen, Prozesse oder Zusammenhänge eines Sachverhalts nachvollziehbar, verständlich und fachlich begründet zum Ausdruck bringen	I, II
erläutern	Wesentliches eines Sachverhalts, Gegenstands, Vorgangs etc. mithilfe von anschaulichen Beispielen oder durch zusätzliche Informationen verdeutlichen	II
ermitteln	einen Zusammenhang oder eine Lösung finden und das Ergebnis formulieren	I, II
erschließen	geforderte Informationen herausarbeiten oder Sachverhalte herleiten, die nicht explizit in dem zugrunde liegenden Material genannt werden	II
formulieren	Gefordertes knapp und präzise zum Ausdruck bringen	I
herstellen	nach anerkannten Regeln Zubereitungen aus Stoffen gewinnen, anfertigen, zubereiten, be- oder verarbeiten, umfüllen, abfüllen, abpacken und kennzeichnen	II, III
implementieren	Strukturen und/oder Prozesse mit Blick auf gegebene Rahmenbedingungen, Zielanforderungen sowie etwaige Regeln in einem System umsetzen	II, III
informieren	fachliche Informationen zielgruppengerecht aufbereiten und strukturieren	II
interpretieren, deuten	auf der Grundlage einer beschreibenden Analyse Erklärungsmöglichkeiten für Zusammenhänge und Wirkungsweisen mit Blick auf ein schlüssiges Gesamtverständnis aufzeigen	III
kennzeichnen	Markierungen, Symbole, Zeichen oder Etiketten anbringen, die geltenden Konventionen und/oder gesetzlichen Vorschriften entsprechen	II
optimieren	einen gegebenen technischen Sachverhalt, einen Quellcode oder eine gegebene technische Einrichtung so verändern, dass die geforderten Kriterien unter einem bestimmten Aspekt erfüllt werden	II, III
planen	die Schritte eines Arbeitsprozesses antizipieren und eine nachvollziehbare ergebnisorientierte Anordnung der Schritte vornehmen	III
präsentieren	Sachverhalte strukturiert, mediengestützt und adressatengerecht vortragen	II
skizzieren	Sachverhalte, Objekte, Strukturen oder Ergebnisse auf das Wesentliche reduzieren und übersichtlich darstellen	I
übersetzen	einen Sachverhalt oder einzelne Wörter und Phrasen wortgetreu in einer anderen Sprache wiedergeben	II
validieren, testen	Erbringung eines dokumentierten Nachweises, dass ein bestimmter Prozess oder ein System kontinuierlich eine Funktionalität/Produkt erzeugt, das die zuvor definierten Spezifikationen und Qualitätsmerkmale erfüllt	I
verallgemeinern	aus einer Einsicht eine Aussage formulieren, die für verschiedene Anwendungsbereiche Gültigkeit besitzt	II
verdrahten	Betriebsmittel nach einem vorgegebenen Anschluss‑/ Stromlaufplan systematisch elektrisch miteinander verbinden	I, II
vergleichen, gegenüberstellen, unterscheiden	nach vorgegebenen oder selbst gewählten Gesichtspunkten problembezogen Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und gegenüberstellen sowie auf dieser Grundlage ggf. ein gewichtetes Ergebnis formulieren	II
wiedergeben	wesentliche Information und/oder deren Zusammenhänge strukturiert zusammenfassen	I
zeichnen	einen beobachtbaren oder gegebenen Sachverhalt mit grafischen Mitteln und ggf. unter Einhaltung von fachlichen Konventionen (z. B. Symbole, Perspektiven etc.) darstellen	I, II
zeigen, aufzeigen	Sachverhalte, Prozesse o. a. sachlich beschreiben und erläutern	I, II
zusammenfassen	das Wesentliche sachbezogen, konzentriert sowie inhaltlich und sprachlich strukturiert mit eigenen Worten wiedergeben	I, II

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