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Ma­the­ma­tik I

Vor­be­mer­kun­gen

 

Bil­dungs­plan­über­sicht

Schul­jahr Bil­dungs­plan­ein­hei­ten Zeit­rich­t-wert Ge­sam­t-stun­den
Schul­jahr 1 Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP) 20
1 Ver­tie­fung der Ma­the­ma­tik aus Se­kun­dar­stu­fe I
10
2 Po­ly­nom­funk­tio­nen
20
3 Tri­go­no­me­tri­sche Funk­tio­nen
12
4 Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen
8 70
Zeit für Leis­tungs­fest­stel­lung 10
80
Schul­jahr 2 Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP) 20
5 Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung
30
6* Vek­t­o­ri­el­le Geo­me­trie
20
7* Ma­the­ma­tik in der Pra­xis
20
8* Sto­chas­tik
20 70
Zeit für Leis­tungs­fest­stel­lung 10
80
*Von den Wahl­ge­bie­ten der BPE 6-8 ist ei­nes zu un­ter­rich­ten.

Schul­jahr 1

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

20

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
An­wen­dung von Kos­ten­theo­rie auf wirt­schaft­li­che Fall­bei­spie­le
Be­stim­mung rea­ler Wachs­tums­pro­zes­se aus der Wirt­schaft (bspw. Ver­kaufs­zah­len, Ge­winn­zo­nen)
Un­ter­su­chung ex­po­nen­ti­el­ler Pro­zes­se in der Na­tur (bspw. Ab­küh­lungs­ge­setz)
Be­schrei­bung und Mes­sung phy­si­ka­li­scher Pro­zes­se (bspw. We­g-Zeit)
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung fä­cher­ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 1

Ver­tie­fung der Ma­the­ma­tik aus Se­kun­dar­stu­fe I

10
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ver­tie­fen und er­wei­tern ihr Wis­sen zu un­ter­schied­li­chen As­pek­ten der Ma­the­ma­tik, die sie be­reits in Se­kun­dar­stu­fe 1 ken­nen­ge­lernt ha­ben. Sie ent­wi­ckeln ei­ne Grund­vor­stel­lung ma­the­ma­ti­scher Be­grif­fe, die es ih­nen er­laubt, In­hal­te zu ver­knüp­fen und ma­the­ma­ti­sche Aus­sa­gen selbst­stän­dig ab­zu­lei­ten.

BPE 1.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­grün­den die Not­wen­dig­keit der Zahl­be­reich­ser­wei­te­rung auf re­el­le Zah­len. Sie ge­ben Teil­men­gen der re­el­len Zah­len mit­hil­fe von Men­gen­sym­bo­len, durch Un­glei­chun­gen so­wie in In­ter­vall­schreib­wei­se an.
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den ih­re grund­le­gen­den Re­chen­kom­pe­ten­zen in den Be­rei­chen Ter­mum­for­mung, Bruch­rech­nung und Po­tenz­rech­nung an.

Zahlenmengen \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)
Ab­zähl­bar­keit der Men­gen
Teil­men­gen der re­el­len Zah­len
\(x \in \mathbb{R}_{0} *\) bzw. \(x > 0\) bzw. \(x \in ]0,\infty[\)
In­ter­val­le
Ein­füh­rung im Zu­sam­men­hang mit De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­rei­chen von Funk­tio­nen
All­ge­mei­ne Ter­mum­for­mun­gen
Klam­mer­rech­nung, Um­stel­len von For­meln
Bruch­um­for­mung
Gol­de­ner Schnitt
Po­ten­zen mit ra­tio­na­len Ex­po­nen­ten
\(\frac{1}{10} = 0,1\)
\(a^{0} = 1\); \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\) \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m}\)
Glei­chungs­um­for­mun­gen
\(x^{3} = - 4\); \(x^{4} = 6\); \(x^{2} – 2x = 4+\frac{5}{2} x\)

BPE 1.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­schlie­ßen den Funk­ti­ons­be­griff aus Bei­spie­len aus dem All­tag. Sie be­stim­men, ob ei­ne ge­ge­be­ne Zu­ord­nung ein­deu­tig oder nicht ein­deu­tig ist. Dar­über hin­aus er­läu­tern sie die Be­grif­fe De­fi­ni­ti­ons­be­reich und Wer­te­be­reich und er­mit­teln den De­fi­ni­ti­ons- und den Wer­te­be­reich ei­ner gra­fisch, al­ge­bra­isch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­on, auch im Kon­text ei­ner An­wen­dungs­si­tua­ti­on.
Zu­ord­nun­gen: ein­deu­ti­g/nicht ein­deu­tig
Wetterdaten, T(t) mit \(D= \mathbb{R}_{+}\) und \(W = \mathbb{R}_{+} \)
Funk­ti­ons­be­griff

De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­reich
De­fi­ni­ti­ons­lü­cke

BPE 1.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler stel­len li­nea­re und qua­dra­ti­sche Funk­tio­nen durch Ta­bel­len, Glei­chun­gen, Schau­bil­der oder Tex­te dar, wen­den ver­schie­de­ne Dar­stel­lungs­for­men an und be­wer­ten die­se im je­wei­li­gen Kon­text. Sie un­ter­schei­den ab­hän­gi­ge und un­ab­hän­gi­ge Va­ria­blen, be­schrei­ben de­ren Zu­sam­men­hang und nen­nen cha­rak­te­ris­ti­sche Wer­te­paa­re. Sie er­läu­tern Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen den Funk­ti­ons­dar­stel­lun­gen un­ter Ver­wen­dung von Fach­spra­che und ma­the­ma­ti­scher Sym­bol­schreib­wei­se.
ta­bel­la­risch
Pa­pier­grö­ße, Gram­ma­tur und Mas­se
al­ge­bra­isch
\(f(x) = 2x\); \(f(x) = x^{2} – 21\)
gra­fisch
Tem­pe­ra­tur/Uhr­zeit
Sym­bol­spra­che
\(f(x) = 2x\); \(f(2) = 4\); \(P(2|4)\)
\( P(2|4) \in K\)
Fach­be­grif­fe
Ko­or­di­na­te, Or­di­na­te
Sprech­wei­se

BPE 1.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten Ge­ra­den als Schau­bil­der li­nea­rer Funk­tio­nen. Sie ge­ben die Glei­chun­gen be­son­de­rer Ge­ra­den an und be­grün­den, dass ei­ne Par­al­le­le zur y-Ach­se nicht Schau­bild ei­ner Funk­ti­on ist. Sie be­rech­nen den Stei­gungs­win­kel ei­ner Ge­ra­den und deu­ten ihn gra­fisch. Eben­so un­ter­su­chen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die La­ge­be­zie­hung zwei­er Ge­ra­den an­hand ih­rer Glei­chun­gen und der Or­tho­go­na­li­täts­be­din­gung.
Ge­ra­den als Schau­bil­der li­nea­rer Funk­tio­nen
Be­son­de­re Ge­ra­den

Par­al­le­len zu den Ko­or­di­na­te­nach­sen
\(x=2\); \(y=2\)
ers­te und zwei­te Win­kel­hal­bie­ren­de

Stei­gungs­drei­eck

Stei­gungs­win­kel ei­ner Ge­ra­den
Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent
La­ge­be­zie­hung zwei­er Ge­ra­den
Beweis der Orthogonalitätsbedingung: anschaulich und formal, \(m_{g} \cdot m_{h} = - 1\)

BPE 2

Po­ly­nom­funk­tio­nen

20
Die Schü­ler und Schü­le­rin­nen er­wei­tern ih­re Kennt­nis­se über li­nea­re Funk­tio­nen auf Po­ly­nom­funk­tio­nen mit ganz­zah­li­gen Hoch­zah­len. Sie ler­nen die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten der Gra­phen die­ser Funk­tio­nen ken­nen und set­zen die­se in Be­zie­hung zum Funk­ti­ons­term. In ein­fa­chen Fäl­len lö­sen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler Po­ly­nom­glei­chun­gen und nut­zen Funk­tio­nen zur Be­schrei­bung und Un­ter­su­chung quan­ti­fi­zier­ba­rer Zu­sam­men­hän­ge z. B. aus Phy­sik und Tech­nik.

BPE 2.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben den Kur­ven­ver­lauf und be­nen­nen die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten von Pa­ra­beln 2. Ord­nung. Sie be­rech­nen die Null­stel­len und Schei­tel­punk­te.
Sym­me­trie­be­trach­tung
\(f( - x) = - f(x)\); \(f( - x) = f(x)\)
Ver­schie­bung in x- und y-Rich­tung

Be­stim­mung der Null­stel­len des Gra­phen
ab­c-Lö­sungs­for­mel, Satz vom Null­pro­dukt
Dar­stel­lungs­form: Nor­mal­form, Pro­dukt­form, Schei­tel­form
Wurf­wei­te bei dem waa­ge­rech­ten Wurf
Schnitt­punk­te von Pa­ra­beln mit Ge­ra­den

BPE 2.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben den Kur­ven­ver­lauf und be­nen­nen die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten von Pa­ra­beln hö­he­rer Ord­nung. Sie be­rech­nen die Null­stel­len rech­ne­risch.
Sym­me­trie­be­trach­tung

Glo­ba­les Ver­hal­ten

Be­stim­mung der Null­stel­len des Gra­phen
Fak­to­ri­sie­ren
Viel­fach­heit von Null­stel­len

BPE 3

Tri­go­no­me­tri­sche Funk­tio­nen

12
Die Schü­lerin­nen und Schü­ler de­fi­nie­ren den Si­nus und Ko­si­nus ei­nes Win­kels am Ein­heits­kreis und er­wei­tern da­mit ih­re Kennt­nis­se der Tri­go­no­me­trie. Sie kön­nen die tri­go­no­me­tri­schen Funk­tio­nen zur Ma­the­ma­ti­sie­rung pe­ri­odi­scher Vor­gänge an­wen­den so­wie die grund­le­gen­den Ei­gen­schaf­ten der all­ge­mei­nen Si­nus- und Ko­si­nusfunk­ti­on be­schrei­ben. Dar­über hin­aus über­tra­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­kann­te Lö­sungs­stra­te­gi­en auf tri­go­no­me­tri­sche Glei­chun­gen.

BPE 3.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den das Grad­maß und das Bo­gen­maß von Win­keln an und be­stim­men nä­he­rungs­wei­se den Si­nus und Ko­si­nus ei­nes Win­kels als Ko­or­di­na­ten ei­nes Punk­tes auf dem Ein­heits­kreis. Mit­hil­fe des Ein­heits­krei­ses skiz­zie­ren die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Si­nus­kur­ve und die Ko­si­nus­kur­ve und be­grün­den de­ren Ei­gen­schaf­ten.
Grad­maß und Bo­gen­maß ei­nes Win­kels

Si­nus und Ko­si­nus ei­nes Win­kels am Ein­heits­kreis
Ver­gleich Fe­der­pen­del­be­we­gung als Pro­jek­ti­on ei­ner Kreis­be­we­gung
Si­nus- und Ko­si­nus­funk­ti­on
\(f(x) = sin(x)\), \(f(x) = cos(x)\)

BPE 3.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben an­hand von Funk­ti­ons­ter­men oder Funk­ti­ons­gra­phen, wie der Graph ei­ner all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on mit­tels Trans­for­ma­tio­nen aus ei­ner Grund­funk­ti­on ent­steht.

Ei­gen­schaf­ten
Be­stim­mung aus den Schau­bil­dern
  • De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­reich
  • Am­pli­tu­de
  • Pe­ri­ode
  • Sym­me­trie

Trans­for­ma­tio­nen

  • Spie­ge­lung an der x- und y-Ach­se
  • Stre­ckung in x- und y-Rich­tung

BPE 3.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen ein­fa­che tri­go­no­me­tri­sche Glei­chun­gen und in­ter­pre­tie­ren die Lö­sun­gen.

Pe­ri­odi­sche Vor­gän­ge
Ge­zei­ten, di­ver­se Tem­pe­ra­tur­ver­läu­fe, Schwin­gun­gen
Be­stim­mung ge­mein­sa­mer Punk­te mit den Ko­or­di­na­te­nach­sen und waag­rech­ten Ge­ra­den
Gra­fi­sche und rech­ne­ri­sche Be­stim­mung von Lö­sun­gen, Lö­sun­gen mit­tels An­wen­dung Ta­schen­rech­ner (Bo­gen­maß, Win­kel­maß und Um­kehr­funk­ti­on)
La­ge von Hoch- und Tief­punk­ten

BPE 4

Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

8
Die Schü­lerin­nen und Schü­ler wen­den die Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen zur Be­schrei­bung von ex­po­nen­ti­el­len Wachs­tums- bzw. Zer­fallspro­zes­sen an. Sie be­nen­nen die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten der Gra­phen die­ser Funk­ti­on und set­zen die­se in Be­zie­hung zum Funk­ti­ons­term. Dar­über hin­aus übertra­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­kann­te Lö­sungs­stra­te­gi­en auf ex­po­nen­ti­el­le Glei­chun­gen.

BPE 4.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler skiz­zie­ren den Kur­ven­ver­lauf ei­ner Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on und be­grün­den de­ren Ei­gen­schaf­ten. Sie schät­zen den Funk­ti­ons­term an­hand des Funk­ti­ons­gra­phen ab und wen­den die Eu­ler'sche Zahl als Ba­sis bei Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen an.

Eu­ler'sche Zahl
Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen
Ver­zin­sung, ra­dio­ak­ti­ver Zer­fall
  • All­ge­mein
\(f(x) = g^{x}\)
  • zur Ba­sis e
\(f(x) = e^{x}\)

BPE 4.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben an­hand von Funk­ti­ons­ter­men oder Funk­ti­ons­gra­phen, wie der Graph ei­ner Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on mit­tels Trans­for­ma­tio­nen aus dem Funk­ti­ons­gra­phen \(f(x) = e^{x}\) ent­steht.
Trans­for­ma­tio­nen: Spie­ge­lung an der x- und y-Ach­se
Be­stim­mung aus den Schau­bil­dern
Ei­gen­schaf­ten

  • De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­reich
  • Asym­pto­te

BPE 4.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen ein­fa­che ex­po­nen­ti­el­le Glei­chun­gen und in­ter­pre­tie­ren die Lö­sun­gen.
Wachs­tums- und Zer­falls­pro­zes­se
Bak­te­ri­en­wachs­tum, ra­dio­ak­ti­ver Zer­fall
Be­stim­mung ge­mein­sa­mer Punk­te mit den Ko­or­di­na­te­nach­sen
Start­wert‑, End­wert­be­rech­nung
Be­stim­mung ge­mein­sa­mer Punk­te mit waag­rech­ten Ge­ra­den
Ver­dopp­lungs‑, Halb­werts­zeit, Sät­ti­gung

Schul­jahr 2

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

20

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
Kos­ten­theo­rie auf wirt­schaft­li­che Fall­bei­spie­le an­wen­den
Rea­le Wachs­tums­pro­zes­se aus der Wirt­schaft be­stim­men (Ver­kaufs­zah­len, Ge­winn­zo­nen)
Ex­po­nen­ti­el­le Pro­zes­se in der Na­tur un­ter­su­chen (bspw. Ab­küh­lungs­ge­setz)
Phy­si­ka­li­sche Pro­zes­se (We­g-Zeit) be­schrei­ben und mes­sen
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung fä­cher­ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 5

Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung

30
Das Än­de­rungs­ver­hal­ten von Funk­tio­nen be­sitzt bei rea­len Vor­gän­gen ei­ne gro­ße Be­deu­tung. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen die Werk­zeu­ge der Dif­fe­ren­zi­alrech­nung, um Ei­gen­schaf­ten von Funk­tio­nen und ih­rer Schau­bil­der zu be­schrei­ben. Sie in­ter­pre­tie­ren durch­schnitt­li­che und mo­men­ta­ne Än­de­rungs­ra­ten.

BPE 5.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln Ab­lei­tungs­re­geln für ver­schie­de­ne Funk­ti­ons­ty­pen und wen­den die­se bei der Be­stim­mung von Ab­lei­tun­gen an. Sie in­ter­pre­tie­ren die Ab­lei­tung so­wie die Ab­lei­tungs­wer­te hin­sicht­lich ih­rer Be­deu­tung.

Ab­lei­tungs­re­geln
Dif­fe­ren­zen- und Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­ent
  • Po­ly­nom­funk­tio­nen
  • tri­go­no­me­tri­sche Funk­tio­nen
  • Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen
We­g-Zeit-Ge­setz
Kreis­be­we­gun­g/Pen­del­be­we­gung
Wachs­tums­ra­te

BPE 5.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men die Stei­gungs­wer­te ei­ner Funk­ti­on und ge­ben Tan­gen­ten­glei­chun­gen so­wie Nor­ma­l­en­glei­chun­gen an.
Tan­gen­ten­glei­chung in ei­nem Punkt

Nor­ma­l­en­glei­chung

BPE 5.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen cha­rak­te­ris­ti­sche Punk­te un­ter An­wen­dung der Ab­lei­tun­gen und in­ter­pre­tie­ren die­se.
Kur­ven­dis­kus­si­on
z. B. ma­xi­ma­ler Ge­winn
  • Ex­trem­punk­te
  • Wen­de­punk­te
  • Krüm­mung

BPE 6*

Vek­t­o­ri­el­le Geo­me­trie

20
Vek­to­ren sind ein ge­eig­ne­tes Hilfs­mit­tel zur Be­hand­lung der Geo­me­trie im An­schau­ungs­raum. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler lö­sen ein­fa­che geo­me­tri­sche Fra­ge­stel­lun­gen mit­hil­fe der Vek­tor­rech­nung. Durch den Um­gang mit geo­me­tri­schen Ob­jek­ten wird ihr räum­li­ches Vor­stel­lungs­ver­mö­gen ge­för­dert.

BPE 6.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men und skiz­zie­ren zwei- und drei­di­men­sio­na­le Vek­to­ren und be­rech­nen ein­fa­che Auf­ga­ben­stel­lun­gen auf Ba­sis von Vek­to­ren.

Vek­to­ren

  • in der Ebe­ne
  • im An­schau­ungs­raum

Rech­nen mit Vek­to­ren

  • Ad­di­ti­on
  • S-Mul­ti­pli­ka­ti­on
  • Li­ne­ar­kom­bi­na­ti­on

BPE 6.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler über­tra­gen ih­re Kennt­nis­se auf Ge­ra­den im An­schau­ungs­raum und ge­ben die­se in der vek­t­o­ri­el­len Dar­stel­lung wie­der. Sie be­rech­nen Spur­punk­te und er­mit­teln Schnitt­punk­te.
Ge­ra­den

  • im An­schau­ungs­raum
  • vek­t­o­ri­el­le Dar­stel­lung
  • Spur­punk­te
  • ge­gen­sei­ti­ge La­ge von Ge­ra­den

BPE 7*

Ma­the­ma­tik in der Pra­xis

20
In vie­len Le­bens­be­rei­chen kom­men Me­tho­den der Ma­the­ma­tik zur An­wen­dung. In der Kos­ten­theo­rie wer­den bei­spiels­wei­se be­triebs­wirt­schaft­li­che Grö­ßen als funk­tio­na­le Zu­sam­men­hän­ge be­schrie­ben, ana­ly­siert und in­ter­pre­tiert. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen, mit Fach­be­grif­fen aus der Pra­xis um­zu­ge­hen, auf­tre­ten­de Fra­ge­stel­lun­gen gra­fisch und rech­ne­risch zu lö­sen und die Lö­sun­gen zu in­ter­pre­tie­ren.

BPE 7.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben grund­le­gen­de Be­grif­fe zur Kos­ten­theo­rie. Sie er­mit­teln Ge­winn und Ver­lust bei rea­len Mo­del­len.
Ge­samt­kos­ten
Stück­kos­ten
Er­lös als Funk­tio­nen
Grenz­kos­ten­funk­ti­on

Ge­winn
Ge­winn­ma­xi­mum
Ge­winn­schwel­le, Ge­winn­gren­ze

BPE 8*

Sto­chas­tik

20
Vie­le All­tags­er­schei­nun­gen las­sen sich im Mo­dell als Zu­falls­ex­pe­ri­men­te in­ter­pre­tie­ren. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ken­nen zen­tra­le Be­grif­fe und Me­tho­den, um rea­le Zu­falls­ex­pe­ri­men­te zu si­mu­lie­ren. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen die en­ge Ver­bin­dung zwi­schen re­la­ti­ver Häu­fig­keit und sta­tis­ti­scher Wahr­schein­lich­keit ken­nen. Sie in­ter­pre­tie­ren da­bei die Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen Häu­fig­keits- und Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lun­gen und ih­ren Ei­gen­schaf­ten.

BPE 8.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben den Wahr­schein­lich­keits­be­griff und in­ter­pre­tie­ren die­sen in Be­zug auf Zu­falls­ex­pe­ri­men­te. Sie wen­den ver­schie­de­ne For­meln an, um Wahr­schein­lich­kei­ten zu be­rech­nen.

Zu­falls­ex­pe­ri­men­te
Baum­dia­gramm, Pfad­re­geln
Ab­so­lu­te und re­la­ti­ve Häu­fig­kei­ten
4-Fel­der-Ta­fel
Sta­tis­ti­sche Wahr­schein­lich­keit

La­place-Wahr­schein­lich­keit

Ope­ra­to­ren­lis­te

In den Ziel­for­mu­lie­run­gen der Bil­dungs­plan­ein­hei­ten wer­den Ope­ra­to­ren (= hand­lungs­lei­ten­de Ver­ben) ver­wen­det. Die­se Ziel­for­mu­lie­run­gen le­gen fest, wel­che An­for­de­run­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in der Re­gel er­fül­len. Zu­sam­men mit der Zu­ord­nung zu ei­nem der drei An­for­de­rungs­be­rei­che (AFB; I: Re­pro­duk­ti­on, II: Re­or­ga­ni­sa­ti­on, III: Trans­fer/Be­wer­tung) die­nen Ope­ra­to­ren ei­ner Prä­zi­sie­rung der Ziel­for­mu­lie­run­gen. Dies si­chert das Er­rei­chen des vor­ge­se­he­nen Ni­veaus und die an­ge­mes­se­ne In­ter­pre­ta­ti­on der Stan­dards.

An­for­de­rungs­be­rei­che:
An­for­de­rungs­be­reich I um­fasst die Re­pro­duk­ti­on und die An­wen­dung ein­fa­cher Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, das Dar­stel­len von Sach­ver­hal­ten in vor­ge­ge­be­ner Form so­wie die Dar­stel­lung ein­fa­cher Be­zü­ge.
An­for­de­rungs­be­reich II um­fasst die Re­or­ga­ni­sa­ti­on und das Über­tra­gen kom­ple­xe­rer Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, die si­tua­ti­ons­ge­rech­te An­wen­dung von tech­ni­schen Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­men, die Wie­der­ga­be von Be­wer­tungs­an­sät­zen so­wie das Her­stel­len von Be­zü­gen, um tech­ni­sche Pro­blem­stel­lun­gen ent­spre­chend den all­ge­mei­nen Re­geln der Tech­nik zu lö­sen.
An­for­de­rungs­be­reich III um­fasst das pro­blem­be­zo­ge­ne An­wen­den und Über­tra­gen kom­ple­xer Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, die si­tua­ti­ons­ge­rech­te Aus­wahl von Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­men, das Her­stel­len von Be­zü­gen und das Be­wer­ten von Sach­ver­hal­ten.
Ope­ra­tor Er­läu­te­rung Zu­ord­nung
An­for­de­rungs­be­rei­che
ab­lei­ten
auf der Grund­la­ge re­le­van­ter Merk­ma­le sach­ge­rech­te Schlüs­se zie­hen
 II
ab­schät­zen
auf der Grund­la­ge von be­grün­de­ten Über­le­gun­gen Grö­ßen­ord­nun­gen an­ge­ben
 II
ana­ly­sie­ren, un­ter­su­chen
für ei­ne ge­ge­be­ne Pro­blem- oder Fra­ge­stel­lung sys­te­ma­tisch bzw. kri­te­ri­en­ge­lei­tet wich­ti­ge Be­stand­tei­le, Merk­ma­le oder Ei­gen­schaf­ten ei­nes Sach­ver­hal­tes oder ei­nes Ob­jek­tes er­schlie­ßen und de­ren Be­zie­hun­gen zu­ein­an­der dar­stel­len
 II
an­wen­den, über­tra­gen
ei­nen be­kann­ten Zu­sam­men­hang oder ei­ne be­kann­te Me­tho­de zur Lö­sungs­fin­dung bzw. Ziel­er­rei­chung auf ei­nen an­de­ren, ggf. un­be­kann­ten Sach­ver­halt be­zie­hen
 II, III
auf­bau­en
Ob­jek­te und Ge­rä­te ziel­ge­rich­tet an­ord­nen und kom­bi­nie­ren
 II
auf­stel­len
fach­spe­zi­fi­sche For­meln, Glei­chun­gen, Glei­chungs­sys­te­me, Re­ak­ti­ons­glei­chun­gen oder Re­ak­ti­ons­me­cha­nis­men ent­wi­ckeln
 II
aus­wer­ten
In­for­ma­tio­nen (Da­ten, Ein­zel­er­geb­nis­se o. a.) er­fas­sen, in ei­nen Zu­sam­men­hang stel­len und dar­aus ziel­ge­rich­te­te Schluss­fol­ge­run­gen zie­hen
 II, III
be­grün­den
Sach­ver­hal­te oder Aus­sa­gen auf Re­geln, Ge­setz­mä­ßig­kei­ten bzw. kau­sa­le Zu­sam­men­hän­ge oder wei­te­re nach­voll­zieh­ba­re Ar­gu­men­te zu­rück­füh­ren
II
be­nen­nen, nen­nen, an­ge­ben
Ele­men­te, Sach­ver­hal­te, Be­grif­fe, Da­ten oder Fak­ten oh­ne Er­läu­te­rung und Wer­tung auf­zäh­len
 I
be­ra­ten
ei­ne Ent­schei­dungs­fin­dung fach­kom­pe­tent und ziel­grup­pen­ge­recht un­ter­stüt­zen
 III
be­rech­nen
Er­geb­nis­se aus ge­ge­be­nen Wer­ten/Da­ten durch Re­chen­ope­ra­tio­nen oder gra­fi­sche Lö­sungs­me­tho­den ge­win­nen
 II
be­schrei­ben
Struk­tu­ren, Si­tua­tio­nen, Zu­sam­men­hän­ge, Pro­zes­se und Ei­gen­schaf­ten ge­nau, sach­lich, struk­tu­riert und fach­sprach­lich rich­tig mit ei­ge­nen Wor­ten dar­stel­len, da­bei wird auf Er­klä­run­gen oder Wer­tun­gen ver­zich­tet
 I, II
be­stim­men
Sach­ver­hal­te und In­hal­te prä­gnant und kri­te­ri­en­ge­lei­tet dar­stel­len
 I
be­stä­ti­gen, be­wei­sen, nach­wei­sen, über­prü­fen, prü­fen
die Gül­tig­keit, Schlüs­sig­keit und Be­rech­ti­gung ei­ner Aus­sa­ge (z. B. Hy­po­the­se, Mo­dell oder Na­tur­ge­setz) durch ein Ex­pe­ri­ment, ei­ne lo­gi­sche Her­lei­tung oder sach­li­che Ar­gu­men­ta­ti­on be­le­gen bzw. wi­der­le­gen
 III
be­ur­tei­len, Stel­lung neh­men
zu ei­nem Sach­ver­halt oder ei­ner Aus­sa­ge ei­ne ei­ge­ne, auf Fach­wis­sen so­wie fach­li­chen Me­tho­den und Maß­stä­ben be­grün­de­te Po­si­ti­on über de­ren Sinn­haf­tig­keit ver­tre­ten
III
be­wer­ten, kri­tisch Stel­lung neh­men
zu ei­nem Sach­ver­halt oder ei­ner Aus­sa­ge ei­ne ei­ge­ne, auf ge­sell­schaft­lich oder per­sön­li­che Wert­vor­stel­lun­gen be­grün­de­te Po­si­ti­on über de­ren An­nehm­bar­keit ver­tre­ten
III
cha­rak­te­ri­sie­ren
spe­zi­fi­schen Ei­gen­hei­ten von Sach­ver­hal­ten, Ob­jek­ten, Vor­gän­gen, Per­so­nen o. a. un­ter lei­ten­den Ge­sichts­punk­ten her­aus­ar­bei­ten und dar­stel­len
 II
dar­stel­len, dar­le­gen
Sach­ver­hal­te, Struk­tu­ren, Zu­sam­men­hän­ge, Me­tho­den oder Er­geb­nis­se etc. un­ter ei­ner be­stimm­ten Fra­ge­stel­lung in ge­eig­ne­ten Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­ma­ten struk­tu­riert und ggf. fach­sprach­lich wie­der­ge­ben
 I, II
dis­ku­tie­ren, er­ör­tern
Pro- und Kon­tra-Ar­gu­men­te zu ei­ner Aus­sa­ge bzw. Be­haup­tung ein­an­der ge­gen­über­stel­len und ab­wä­gen
 III
do­ku­men­tie­ren
Ent­schei­den­de Er­klä­run­gen, Her­lei­tun­gen und Skiz­zen zu ei­nem Sach­ver­halt bzw. Vor­gang an­ge­ben und sys­te­ma­tisch ord­nen
 I, II
durch­füh­ren
ei­ne vor­ge­ge­be­ne oder ei­ge­ne An­lei­tung bzw. An­wei­sung um­set­zen
 I, II
ein­ord­nen, ord­nen, zu­ord­nen, ka­te­go­ri­sie­ren, struk­tu­rie­ren
Be­grif­fe, Ge­gen­stän­de usw. auf der Grund­la­ge be­stimm­ter Merk­ma­le sys­te­ma­tisch ein­tei­len; so wird deut­lich, dass Zu­sam­men­hän­ge un­ter vor­ge­ge­be­nen oder selbst ge­wähl­ten Ge­sichts­punk­ten be­grün­det her­ge­stellt wer­den
 II
emp­feh­len
Pro­duk­te und Ver­hal­tens­wei­sen kun­den- und si­tua­ti­ons­ge­recht vor­schla­gen
 II
ent­wi­ckeln, ent­wer­fen, ge­stal­ten
Wis­sen und Me­tho­den ziel­ge­rich­tet und ggf. krea­tiv mit­ein­an­der ver­knüp­fen, um ei­ne ei­gen­stän­di­ge Ant­wort auf ei­ne An­nah­me oder ei­ne Lö­sung für ei­ne Pro­blem­stel­lung zu er­ar­bei­ten oder wei­ter­zu­ent­wi­ckeln
 III
er­klä­ren
Struk­tu­ren, Pro­zes­se oder Zu­sam­men­hän­ge ei­nes Sach­ver­halts nach­voll­zieh­bar, ver­ständ­lich und fach­lich be­grün­det zum Aus­druck brin­gen
I, II
er­läu­tern
We­sent­li­ches ei­nes Sach­ver­halts, Ge­gen­stands, Vor­gangs etc. mit­hil­fe von an­schau­li­chen Bei­spie­len oder durch zu­sätz­li­che In­for­ma­tio­nen ver­deut­li­chen
 II
er­mit­teln
ei­nen Zu­sam­men­hang oder ei­ne Lö­sung fin­den und das Er­geb­nis for­mu­lie­ren
 I, II
er­schlie­ßen
ge­for­der­te In­for­ma­tio­nen her­aus­ar­bei­ten oder Sach­ver­hal­te her­lei­ten, die nicht ex­pli­zit in dem zu­grun­de lie­gen­den Ma­te­ri­al ge­nannt wer­den
 II
for­mu­lie­ren
Ge­for­der­tes knapp und prä­zi­se zum Aus­druck brin­gen
 I
her­stel­len
nach an­er­kann­ten Re­geln Zu­be­rei­tun­gen aus Stof­fen ge­win­nen, an­fer­ti­gen, zu­be­rei­ten, be- oder ver­ar­bei­ten, um­fül­len, ab­fül­len, ab­pa­cken und kenn­zeich­nen
 II, III
im­ple­men­tie­ren
Struk­tu­ren un­d/o­der Pro­zes­se mit Blick auf ge­ge­be­ne Rah­men­be­din­gun­gen, Ziel­an­for­de­run­gen so­wie et­wai­ge Re­geln in ei­nem Sys­tem um­set­zen
 II, III
in­for­mie­ren
fach­li­che In­for­ma­tio­nen ziel­grup­pen­ge­recht auf­be­rei­ten und struk­tu­rie­ren
 II
in­ter­pre­tie­ren, deu­ten
auf der Grund­la­ge ei­ner be­schrei­ben­den Ana­ly­se Er­klä­rungs­mög­lich­kei­ten für Zu­sam­men­hän­ge und Wir­kungs­wei­sen mit Blick auf ein schlüs­si­ges Ge­samt­ver­ständ­nis auf­zei­gen
 III
kenn­zeich­nen
Mar­kie­run­gen, Sym­bo­le, Zei­chen oder Eti­ket­ten an­brin­gen, die gel­ten­den Kon­ven­tio­nen un­d/o­der ge­setz­li­chen Vor­schrif­ten ent­spre­chen
 II
op­ti­mie­ren
ei­nen ge­ge­be­nen tech­ni­schen Sach­ver­halt, ei­nen Quell­code oder ei­ne ge­ge­be­ne tech­ni­sche Ein­rich­tung so ver­än­dern, dass die ge­for­der­ten Kri­te­ri­en un­ter ei­nem be­stimm­ten As­pekt er­füllt wer­den
 II, III
pla­nen
die Schrit­te ei­nes Ar­beits­pro­zes­ses an­ti­zi­pie­ren und ei­ne nach­voll­zieh­ba­re er­geb­nis­ori­en­tier­te An­ord­nung der Schrit­te vor­neh­men
 III
prä­sen­tie­ren
Sach­ver­hal­te struk­tu­riert, me­di­en­ge­stützt und adres­sa­ten­ge­recht vor­tra­gen
 II
skiz­zie­ren
Sach­ver­hal­te, Ob­jek­te, Struk­tu­ren oder Er­geb­nis­se auf das We­sent­li­che re­du­zie­ren und über­sicht­lich dar­stel­len
 I
über­set­zen
ei­nen Sach­ver­halt oder ein­zel­ne Wör­ter und Phra­sen wort­ge­treu in ei­ner an­de­ren Spra­che wie­der­ge­ben
 II
va­li­die­ren, tes­ten
Er­brin­gung ei­nes do­ku­men­tier­ten Nach­wei­ses, dass ein be­stimm­ter Pro­zess oder ein Sys­tem kon­ti­nu­ier­lich ei­ne Funk­tio­na­li­tät/Pro­dukt er­zeugt, das die zu­vor de­fi­nier­ten Spe­zi­fi­ka­tio­nen und Qua­li­täts­merk­ma­le er­füllt
 I
ver­all­ge­mei­nern
aus ei­ner Ein­sicht ei­ne Aus­sa­ge for­mu­lie­ren, die für ver­schie­de­ne An­wen­dungs­be­rei­che Gül­tig­keit be­sitzt
 II
ver­drah­ten
Be­triebs­mit­tel nach ei­nem vor­ge­ge­be­nen An­schluss‑/ Strom­lauf­plan sys­te­ma­tisch elek­trisch mit­ein­an­der ver­bin­den
 I, II
ver­glei­chen, ge­gen­über­stel­len, un­ter­schei­den
nach vor­ge­ge­be­nen oder selbst ge­wähl­ten Ge­sichts­punk­ten pro­blem­be­zo­gen Ge­mein­sam­kei­ten, Ähn­lich­kei­ten und Un­ter­schie­de er­mit­teln und ge­gen­über­stel­len so­wie auf die­ser Grund­la­ge ggf. ein ge­wich­te­tes Er­geb­nis for­mu­lie­ren
 II
wie­der­ge­ben
we­sent­li­che In­for­ma­ti­on un­d/o­der de­ren Zu­sam­men­hän­ge struk­tu­riert zu­sam­men­fas­sen
 I
zeich­nen
ei­nen be­ob­acht­ba­ren oder ge­ge­be­nen Sach­ver­halt mit gra­fi­schen Mit­teln und ggf. un­ter Ein­hal­tung von fach­li­chen Kon­ven­tio­nen (z. B. Sym­bo­le, Per­spek­ti­ven etc.) dar­stel­len
 I, II
zei­gen, auf­zei­gen
Sach­ver­hal­te, Pro­zes­se o. a. sach­lich be­schrei­ben und er­läu­tern
 I, II
zu­sam­men­fas­sen
das We­sent­li­che sach­be­zo­gen, kon­zen­triert so­wie in­halt­lich und sprach­lich struk­tu­riert mit ei­ge­nen Wor­ten wie­der­ge­ben
I, II

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