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Ma­the­ma­tik I

Vor­be­mer­kun­gen

Schul­jahr 1

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

30

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
Aus­wer­tung von in­di­vi­du­el­len Da­ten/Da­ten­sät­zen aus ver­schie­de­nen Prak­ti­ka - z. T. com­put­er­un­ter­stützt
bspw.
Kris­tall­was­ser­be­stim­mung
Neu­tra­li­sa­ti­ons­ti­tra­ti­on
Fo­to­me­tri­sche Kon­zen­tra­ti­ons­be­stim­mung
An­zahl Streich­höl­zer pro Schach­tel
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung fä­cher­ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 1

Fach­rech­nen

25
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen die Ein­waa­gen für Lö­sun­gen mit einem vor­ge­ge­be­nen Ge­halt. Fer­ner zei­gen Sie, wie man die Ko­ef­fi­zi­en­ten in der Re­ak­ti­ons­glei­chung bei Um­satz­be­rech­nun­gen be­rück­sich­tigt. Sie er­schlie­ßen aus Text­auf­ga­ben Glei­chun­gen mit phy­si­ka­li­schen Grö­ßen und be­rech­nen erst im zwei­ten Schritt kon­kre­te Zah­len­wer­te mit Ein­hei­ten.

BPE 1.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler for­mu­lie­ren Re­ak­ti­ons­glei­chun­gen. Sie er­mit­teln die Stoff­um­sät­ze ei­ner Re­ak­ti­on auf der Ba­sis von Stoff­men­gen­ver­hält­nis­sen und Kon­zen­tra­tio­nen.
Re­ak­ti­ons­glei­chun­gen
vgl. „Che­mie und Bio­che­mie“ (BPE 2.1)
Teil­chen­zahl, Mas­se, Vo­lu­men

Stoff­men­ge

  • Avo­ga­dro-Kon­stan­te

Mo­la­re Mas­se

  • Mas­sen­zahl und de­ren Ein­hei­ten

Mo­la­res Vo­lu­men

  • Stan­dard­be­din­gun­gen, mo­la­res Gas­vo­lu­men

Dich­te

Stö­chio­me­tri­sche Be­rech­nun­gen

  • Stoff­um­satz
  • Aus­beu­te

BPE 1.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen ver­schie­de­ne Ge­halts­grö­ßen. Sie ord­nen Mess­da­ten ein, wer­ten sie aus und be­wer­ten die Er­geb­nis­se.
An­set­zen von Lö­sun­gen mit un­ter­schied­li­chen Ge­halts­grö­ßen

  • Stoff­men­gen­kon­zen­tra­ti­on
  • Mas­sen­kon­zen­tra­ti­on
  • pro­zen­tua­ler An­teil
  • (w/w), (w/v), (v/v)
Vo­lu­men­kon­zen­tra­ti­on
Um­rech­nung von Ge­halts­grö­ßen

Ver­dün­nun­gen

  • Ver­dün­nungs­fak­tor
Ver­dün­nungs­rei­he
Vo­lu­me­trie
Neu­tra­li­sa­ti­on‑, Re­dox‑, Kom­plex‑, Fäl­lungs­ti­tra­tio­nen
  • Kon­zen­tra­ti­ons­be­stim­mung von Maß­lö­sun­gen, Ti­ter­be­stim­mung

  • Kon­zen­tra­ti­ons­be­stim­mung von Ana­ly­sen­lö­sun­gen

BPE 1.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wer­ten fo­to­me­tri­sche Mess­da­ten aus und be­wer­ten de­ren Qua­li­tät. Sie be­rech­nen an­hand von Ka­li­brier­ge­ra­den die Kon­zen­tra­tio­nen un­be­kann­ter Lö­sun­gen.

Fo­to­me­trie

  • Ab­sorp­ti­ons­spek­tren
Trans­mis­si­on ver­sus Ab­sorp­ti­on
  • Extink­ti­on
phy­si­ka­li­sche Grö­ße oh­ne Ein­heit
  • Lam­ber­t-Beer'sches Ge­setz

  • Ka­li­brier­ge­ra­de mit Trend­li­nie, Be­stimmt­heits­maß, Ex­tra­po­la­ti­on

BPE 1.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen pH-Wer­te von wäss­ri­gen Lö­sun­gen und von ein­fa­chen Puf­fer­lö­sun­gen.

pH-Wer­t-Be­rech­nung star­ker Säu­ren und Ba­sen
vgl. „Che­mie und Bio­che­mie“ (BPE 5.2) Nä­he­rungs­glei­chun­gen, Gren­zen der Gül­tig­keit
  • star­ke Säu­ren und Ba­sen mit nur ei­nem pKS- bzw. pKB-Wert
  • Schwe­fel­säu­re
  • Hy­droxi­d-Lö­sun­gen

pH-Wer­t-Be­rech­nung ein­pro­to­ni­ger schwa­cher Säu­ren und de­ren kor­re­spon­die­ren­den Ba­sen

Zwei­kom­po­nen­ten-Puf­fer­sys­te­me

  • Hen­der­son-Has­sel­balch-Glei­chung
  • Puf­fer­be­reich
  • Puf­fer­ka­pa­zi­tät

BPE 2

Ein­füh­rung in die be­schrei­ben­de Sta­tis­tik

16
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ken­nen Grund­be­grif­fe von Da­ten ei­ner Stich­pro­be. Sie tei­len die Da­ten be­grün­det in Klas­sen ein. Sie stel­len Da­ten in ei­nem Dia­gramm dar. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen sta­tis­ti­sche Grö­ßen ei­ner Stich­pro­be und be­ur­tei­len, ob die­se ei­ner Nor­mal­ver­tei­lung ent­spricht. Sie be­grün­den, ob ein Zu­sam­men­hang li­ne­ar ist. Sie be­rech­nen die Re­gres­si­ons­ge­ra­de.

BPE 2.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern an­hand sta­tis­ti­scher Er­he­bun­gen Be­grif­fe der Da­ten­er­he­bung. Sie ord­nen Merk­ma­len auf­grund ih­rer Aus­prä­gung ei­ne Ska­la zu. Sie ge­ben mög­li­che Merk­ma­le ei­nes Merk­mals­trä­gers oder Merk­mals­aus­prä­gun­gen an.

Grund­be­grif­fe

  • Merk­mals­trä­ger

  • Merk­mals­aus­prä­gung

  • Grund­ge­samt­heit

  • Stich­pro­be

  • Stich­pro­ben­um­fang

  • Stich­pro­ben­wer­te
Un­ter­schied zu Merk­mals­aus­prä­gung
  • Ur­lis­te

  • No­mi­nal­ska­la

  • Or­di­nal­ska­la

  • me­tri­sche Ska­la
dis­kre­te oder ste­ti­ge Merk­ma­le

BPE 2.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen ab­so­lu­te oder re­la­ti­ve Häu­fig­keit, die letz­te­re als Bruch, De­zi­mal­zahl oder in Pro­zent. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler füh­ren ei­ne Klas­sen­ein­tei­lung durch und stel­len die Ver­tei­lung der Häu­fig­keit in ei­nem Dia­gramm dar. Sie deu­ten ein ge­ge­be­nes Dia­gramm.
Häu­fig­kei­ten und ih­re Dar­stel­lun­gen

  • ab­so­lu­te Häu­fig­keit

  • re­la­ti­ve Häu­fig­keit

  • Häu­fig­keits­ta­bel­le

  • Li­ni­en­dia­gramm

  • Säu­len­dia­gramm

  • Kreis­dia­gramm

  • Klas­se
nur gleich brei­te Klas­sen, Teil­in­ter­val­le halb­of­fen
  • Klas­sen­mit­te

  • His­to­gramm

  • Sum­men­häu­fig­keit

  • Sum­men­kur­ve
ge­rad­li­ni­ge Ver­bin­dung der Klas­sen­ober­gren­ze
  • Trep­pen­kur­ve
bei dis­kre­ten Merk­ma­len oh­ne Klas­sen­ein­tei­lung

BPE 2.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen arith­me­ti­sche Mit­tel und Me­di­an.

Häu­fig­keit und ih­re La­ge­ma­ße

  • arith­me­ti­sches Mit­tel
„Mit­tel­wert al­ler Ab­wei­chun­gen vom Mit­tel­wert im­mer null“
  • Mo­dal­wert

  • Me­di­an
bei ge­ra­der An­zahl von Merk­mals­trä­gern arith­me­ti­sches Mit­tel von Stich­pro­ben­wert ein links und ein rechts der Mit­te der Rei­hen­fol­ge,
bei Klas­sen­ein­tei­lung Be­stim­mung der Klas­se, die Me­di­an ent­hält

BPE 2.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen die Streu­ma­ße ei­ner ge­ge­be­nen Stich­pro­be. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­ur­tei­len auf­grund ei­ner Rech­nung, ob ei­ne Ver­tei­lung „stan­dard­mä­ßig ver­teilt“, auch nor­mal­ver­teilt ge­nannt, ist. Sie stel­len ei­ne ge­ge­be­ne Stich­pro­be in ei­nem ge­eig­ne­ten Dia­gramm dar und nen­nen das arith­me­ti­sche Mit­tel und die Stan­dard­ab­wei­chung. Sie ver­glei­chen die Streu­ma­ße ver­schie­de­ner Stich­pro­ben und deu­ten de­ren Un­ter­schied in­halt­lich.
Häu­fig­keit und ih­re Streu­ma­ße

  • mitt­le­re ab­so­lu­te Ab­wei­chung
Nut­zen vom Be­trag, Auf­grei­fen der Be­mer­kung in arith­me­ti­sches Mit­tel
  • Va­ri­anz ei­ner Stich­pro­be
For­mel­zei­chen s2 we­gen WTR
kei­ne Er­klä­rung für Er­set­zen der An­zahl der Pro­ben­wer­te n durch n-1
  • Stan­dard­ab­wei­chung

  • stan­dard­mä­ßi­ge Ver­tei­lung, Nor­mal­ver­tei­lung
Nor­mal­ver­tei­lung: Ab­stand von Pro­ben­wert zu arith­me­ti­schem Mit­tel klei­ner als Stan­dard­ab­wei­chung für min­des­tens 68 % der Pro­ben­wer­te
Be­rech­nung von s2 und s über Ta­bel­le oh­ne WTR

BPE 2.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler lei­ten ab, ob es ei­nen li­nea­ren Zu­sam­men­hang zwi­schen zwei Grö­ßen gibt. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zeich­nen ei­ne Aus­gleichs­ge­ra­de in das Dia­gramm zwei­er Grö­ßen, die li­ne­ar zu­ein­an­der sind. Sie be­rech­nen die Ge­ra­den­glei­chung der ge­zeich­ne­ten Aus­gleichs­ge­ra­den. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln die Ge­ra­den­glei­chung mit dem WTR.
Li­nea­re Re­gres­si­on

  • Aus­gleichs­ge­ra­de
kei­ne Me­tho­de der kleins­ten Feh­ler­qua­dra­te, Er­mitt­lung der Ge­ra­den­glei­chung mit dem WTR

BPE 3

Li­nea­re Funk­tio­nen

6
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln aus ei­nem Dia­gramm die Ge­ra­den­glei­chung in der Haupt­form. Sie füh­ren die Punkt­pro­be durch.

BPE 3.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln die Ge­ra­den­glei­chung rech­ne­risch oder aus ei­nem Dia­gramm. Sie er­mit­teln den Schnitt­punkt zwei­er Ge­ra­den gra­fisch und rech­ne­risch.
Kar­te­si­sches Ko­or­di­na­ten­sys­tem

  • Qua­dran­ten

  • Win­kel­hal­bie­ren­de

Ge­ra­den­glei­chung in der Haupt­form

  • Be­rech­nung der Stei­gung

  • Ab­le­sen der Stei­gung

  • Be­rech­nung Stei­gungs­win­kel α
Be­deu­tung des Vor­zei­chens des Win­kels
  • Be­rech­nung y-Ach­sen­ab­schnitt

Be­son­de­re Ge­ra­den

  • Par­al­le­le zur x-Ach­se
kei­ne Stei­gung
  • Par­al­le­le zur y-Ach­se
un­end­lich gro­ße Stei­gung
  • x-Ach­se

  • y-Ach­se

Schnitt­punkt­be­rech­nung

  • mit be­lie­bi­ger an­de­rer Ge­ra­den
bei glei­cher Stei­gung kein Schnitt­punkt
  • mit Ko­or­di­na­te­nach­sen

Text­auf­ga­ben

BPE 4

Ganz­ra­tio­na­le Funk­tio­nen 2. Gra­des

10
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln Streck­fak­tor und Schei­tel­ko­or­di­na­ten ei­ner Pa­ra­bel. Sie be­rech­nen Schnitt­punk­te von Pa­ra­bel und Ge­ra­de so­wie von zwei Pa­ra­beln.

BPE 4.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln aus ei­nem Dia­gramm die Schei­tel­form ei­ner Pa­ra­bel. Sie be­schrei­ben, durch wel­che geo­me­tri­schen Ope­ra­tio­nen ei­ne Pa­ra­bel in ei­ne an­de­re über­führt wird.
Nor­mal­pa­ra­bel

  • Schei­tel
als tiefs­ter Punkt
Be­lie­bi­ge Pa­ra­bel

  • Streck­fak­tor
Be­deu­tung des Vor­zei­chens
  • Sym­me­trie der Pa­ra­bel zur y-Ach­se
\(f ( - x) = f (x)\)
  • Ver­schie­bung in x-Rich­tung
Er­klä­rung mit­hil­fe der Wer­te­ta­bel­le
  • Ver­schie­bung in y-Rich­tung
Er­gän­zung der Wer­te­ta­bel­le
  • Schei­tel­form der Pa­ra­bel
von Schei­tel­form zur All­ge­mei­nen und um­ge­kehrt
  • all­ge­mei­ne Form der Pa­ra­bel
qua­dra­ti­sche Er­gän­zung
  • Spie­ge­lung an der x-Ach­se
\(g (x) = - f (x)\)
  • Spie­ge­lung an der y-Ach­se
\(g(x) = f( - x)\)

BPE 4.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen die Ko­or­di­na­ten von Schnitt­punk­ten von Pa­ra­beln in all­ge­mei­ner Form mit der x- und mit der y-Ach­se. Da­bei wen­den sie das für den Schnitt mit der x-Ach­se er­wor­be­ne Vor­ge­hen für den Schnitt mit ei­ner be­lie­bi­gen Ge­ra­de an.
Schnitt­punk­te ei­ner be­lie­bi­gen Pa­ra­bel in all­ge­mei­ner Form

  • mit der y-Ach­se

  • mit der x-Ach­se
Satz vom Null­pro­dukt
abc- oder pq-For­mel mit den Fall­un­ter­schei­dun­gen für die Dis­kri­mi­nan­te D
Schnitt­punk­te, Be­rühr­punkt, ein­fa­che, dop­pel­te Null­stel­le, Satz vom Null­pro­dukt,
Pro­dukt­form \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\)
Schnitt­punk­te ei­ner be­lie­bi­gen Pa­ra­bel in be­lie­bi­ger Form mit ei­ner Ge­ra­den oder Pa­ra­bel
Schnitt­punk­te, Schnitt­ge­ra­de, Be­rühr­punkt, Tan­gen­te

BPE 5

Po­tenz­funk­tio­nen 3. und 4. Gra­des

2
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­ken­nen den glo­ba­len Ver­lauf und die Sym­me­trie der Dia­gram­me der Po­tenz­funk­tio­nen 3. oder 4. Gra­des. Sie er­ken­nen die Viel­fach­heit der Null­stel­le.

BPE 5.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­ken­nen an­hand der Sym­me­trie das ge­ge­be­ne Dia­gramm als ku­bisch oder zur vier­ten Po­tenz ge­hö­rig.
Dia­gramm

  • der Po­tenz­funk­ti­on 3. Gra­des
punkt­sym­me­trisch zum Ur­sprung
  • der Po­tenz­funk­ti­on 4. Gra­des
ach­sen­sym­me­trisch zur y-Ach­se
Lös­bar­keit von Po­tenz­glei­chun­gen 3. und 4. Ord­nung
\(x^{3}=-64\)
und \(x^{4}=-256\)

BPE 6

Ganz­ra­tio­na­le Funk­tio­nen 3. und 4. Gra­des

16
Aus­ge­hend vom Dia­gramm der Po­tenz­funk­tio­nen er­schlie­ßen sich die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Dia­gram­me der Po­ly­nom­funk­tio­nen 3. und 4. Gra­des.

BPE 6.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler über­tra­gen die Vor­ge­hens­wei­se bei der Ver­schie­bung der Pa­ra­bel 2. Ord­nung auf die bei der 3. Ord­nung.

Ganz­ra­tio­na­le Funk­ti­on 3. Gra­des und Pa­ra­bel 3. Ord­nung
Er­gän­zung von \(f(x)=a­x^{3}\) durch ei­nen li­nea­ren Term \(f(x)=a­x^{3}+mx\)
  • Sym­me­trie­zen­trum
vom Sat­tel­punkt zum Sym­me­trie­zen­trum
  • Ver­schie­ben der Pa­ra­bel in x-Rich­tung
Er­klä­rung mit­hil­fe der Wer­te­ta­bel­le
  • Ver­schie­ben der Pa­ra­bel in y-Rich­tung
Er­gän­zen der Wer­te­ta­bel­le
  • Sym­me­trie­zen­trum­form der Pa­ra­bel
\(f(x)=a(x-x_{s­z})^{3}+m(x-x_{s­z})+y_{s­z}\)
Er­mitt­lung aus ge­ge­be­nem Dia­gramm durch gra­fi­scher Er­mitt­lung der Stei­gung im Sym­me­trie­zen­trum
  • Um­rech­nung in all­ge­mei­ne Form

Be­lie­bi­ge Pa­ra­bel

  • Streck­fak­tor
Be­deu­tung des Vor­zei­chens
  • Spie­ge­lung an x-Ach­se
\(g(x)=-f(x)\)
  • Spie­ge­lung an y-Ach­se
\(g(x)=f( - x)\)

BPE 6.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen Glei­chun­gen 3. Gra­des. Sie be­grün­den ih­ren Lö­sungs­an­satz. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen die Lö­sun­gen der Glei­chun­gen aus ei­nem Dia­gramm. Sie be­rech­nen an­hand ei­nes Dia­gramms den Funk­ti­ons­term in der Pro­dukt­form und be­rech­nen die­se in die all­ge­mei­ne.
Ganz­ra­tio­na­le Funk­ti­on 3. Gra­des in der all­ge­mei­nen Form und als Pa­ra­bel 3. Ord­nung
\(f(x)=a­x^{3}+bx^{2}+cx+d\)
  • glo­ba­ler Ver­lauf

  • Punkt­sym­me­trie zu O(0|0)
\(f( - x)=-f(x)\)
Glei­chun­gen 3. Gra­des
Ge­win­nung auch aus Dif­fe­renz zwei­er Funk­tio­nen
\(f(x)-g(x)=0\)
Glei­chun­gen 3. Gra­des
\(f(x)=a­x^{3}+d\)
  • Zie­hung der 3. Wur­zel
Lös­bar­keit
Glei­chun­gen 3. Gra­des
\(f(x)=a­x^{3}+bx^{2}+cx\)
  • Satz vom Null­pro­dukt

  • Pro­dukt­form
An­zahl Null­stel­len, Art der Null­stel­len bis zu
\(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\)

BPE 6.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­grün­den ih­re Zu­ord­nung ei­nes Dia­gramms zu ei­nem Funk­ti­ons­term. Sie be­rech­nen Glei­chun­gen 4. Ord­nung und über­tra­gen da­bei vor­he­ri­ge Lö­sungs­an­sät­ze. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln aus ei­nem ge­ge­be­nen Dia­gramm bei ma­xi­mal mög­li­cher An­zahl der Null­stel­len die Pro­dukt­form des zu­ge­hö­ri­gen Funk­ti­ons­terms.
Ganz­ra­tio­na­le Funk­ti­on 4. Gra­des in der all­ge­mei­nen Form und de­ren Schau­bil­der
\(f(x)=a­x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\)
  • glo­ba­ler Ver­lauf
Auf­zei­gen ver­schie­de­ner Dia­gram­me
Glei­chun­gen 4. Gra­des
auch aus Dif­fe­renz zwei­er Funk­tio­nen
Glei­chun­gen 4. Gra­des
der Form \(f(x)=a­x^{4}+e\)

  • Zie­hung der 4. Wur­zel
Lös­bar­keit
Glei­chun­gen 4. Gra­des der Form
\(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})\)

  • Satz vom Null­pro­dukt

  • Pro­dukt­form
Be­rück­sich­ti­gung der Viel­fach­heit der Null­stel­len
Glei­chun­gen 4. Gra­des der Form
\(f(x)=a­x^{4}+cx^{2}+e\)

  • Sym­me­trie des Schau­bilds

  • Sub­sti­tu­ti­on
Lös­bar­keit, Viel­fach­heit der Lö­sung

Schul­jahr 2

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

10

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
Ent­wick­lung der Bier­schaum­hö­he im Glas
Mes­sen der Kör­per­tem­pe­ra­tur in Ab­hän­gig­keit von der Ta­ges­zeit als Bei­spiel ei­ner Si­nus­funk­ti­on
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung fä­cher­ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 7

Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

25
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­ken­nen den Un­ter­schied zwi­schen li­nearem und ex­po­nen­ti­el­lem Wachs­tum. Sie stel­len bei ge­ge­be­nem Sach­ver­halt ei­ne zu­ge­hö­rige ma­the­ma­ti­sche Glei­chung auf. Sie benen­nen die Grün­de ei­ner Gren­ze der Gül­tig­keit ei­nes ex­po­nen­ti­el­len Mo­dells.

BPE 7.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen den Wachs­tums- oder Zer­falls­fak­tor. Sie wei­sen Wachs­tums- oder Zer­falls­pro­zes­se als zeit­wei­se ex­po­nen­ti­ell nach. Sie be­stä­ti­gen die Vor­ge­hens­wei­se beim Ver­schie­ben der Dia­gram­me. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler füh­ren Rech­nun­gen mit dem na­tür­li­chen Lo­ga­rith­mus durch. Sie er­mit­teln so­mit die Hoch­zahl zur Ba­sis e der Eu­ler­schen Zahl. Sie wen­den den Funk­tio­nen­be­griff nicht auf den na­tür­li­chen Lo­ga­rith­mus an.

Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

  • li­nea­res Wachs­tum
Wer­te­ta­bel­le, Asym­pto­te
  • ex­po­nen­ti­el­les Wachs­tum, Zer­fall
Wachs­tums­fak­tor, Wachs­tums­glei­chung, An­fangs­be­stand
  • Eu­ler­sche Zahl e

  • Po­tenz­ge­set­ze
ste­ti­ge Ver­zin­sung
\(a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}\), \(\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}\), \(a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}\), \(\frac{a^{n}}{b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n}\), \($(a^{n})^{m}=a^{m\cdot n}\)
Rech­nen mit dem na­tür­li­chen Lo­ga­rith­mus
Ver­weis auf die Qua­drat­wur­zel
  • Lo­ga­rith­mus­ge­set­ze
\(ln({u\cdot v})=ln({u})+ln({v})\), \(ln({\frac{u}{v}})=ln({u})-ln({v})\)
\(ln({u^{r}})=r\cdot ln({u})\) mit \(u=e^{a}\), \(v=e^{b}\)
Schau­bil­der ex­po­nen­ti­el­ler Funk­tio­nen

  • Ver­schie­bung in x-Rich­tung
  • Ver­schie­bung in y-Rich­tung
\(f(x)=e^{x}\); \(g(x)=e^{x+h}\)
  • Spie­ge­lung an x‑/ y-Ach­se
Asym­pto­te
\(f(x)=e^{kx}\), Wachs­tums­kon­stan­te k
Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen

  • An­wen­dung des Lo­ga­rith­mus
  • Aus­klam­mern und Satz vom Null­pro­dukt
  • Sub­sti­tu­ti­on
Ver­an­schau­li­chung der Glei­chung durch Dia­gramm
\( e^{-4x}=50\)
\(4e^{-2x}-e^{-x}=0 \)
\( 4e^{2x}-24e^{x}+32=0 \)

BPE 7.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler stel­len bei text­lich ge­ge­be­nem Sach­ver­halt die zu­ge­hö­ri­ge Glei­chung auf und be­rech­nen die ge­for­der­ten Grö­ßen. Sie wen­den da­bei das zu­vor er­wor­be­ne Wis­sen auf den kon­kre­ten Sach­ver­halt an. Sie wer­ten da­bei auch Da­ten aus ei­nem ge­ge­be­nen Dia­gramm aus. Sie wer­ten ei­ne Wer­te­ta­bel­le aus, um fest­zu­stel­len, ab wel­chem Zeit­in­ter­vall ein be­stimm­tes Wachs­tum un­ter­schrit­ten wird.
An­wen­dun­gen der Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

  • Bei­spie­le aus Bio­lo­gie, Bank­we­sen, Phy­sik für ex­po­nen­ti­el­les Wachs­tum
\(f(x)=a­e^{kx}+b\), a An­fangs­be­stand, Halb­werts­zeit, Asym­pto­te
Be­schränk­tes Wachs­tum, be­schränk­ter Zer­fall
\(f(t+1)-f(t) <\) const

Ope­ra­to­ren­lis­te

In den Ziel­for­mu­lie­run­gen der Bil­dungs­plan­ein­hei­ten wer­den Ope­ra­to­ren (= hand­lungs­lei­ten­de Ver­ben) ver­wen­det. Die­se Ziel­for­mu­lie­run­gen le­gen fest, wel­che An­for­de­run­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in der Re­gel er­fül­len. Zu­sam­men mit der Zu­ord­nung zu ei­nem der drei An­for­de­rungs­be­rei­che (AFB; I: Re­pro­duk­ti­on, II: Re­or­ga­ni­sa­ti­on, III: Trans­fer/Be­wer­tung) die­nen Ope­ra­to­ren ei­ner Prä­zi­sie­rung der Ziel­for­mu­lie­run­gen. Dies si­chert das Er­rei­chen des vor­ge­se­he­nen Ni­veaus und die an­ge­mes­se­ne In­ter­pre­ta­ti­on der Stan­dards.

An­for­de­rungs­be­rei­che:
An­for­de­rungs­be­reich I um­fasst die Re­pro­duk­ti­on und die An­wen­dung ein­fa­cher Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, das Dar­stel­len von Sach­ver­hal­ten in vor­ge­ge­be­ner Form so­wie die Dar­stel­lung ein­fa­cher Be­zü­ge.
An­for­de­rungs­be­reich II um­fasst die Re­or­ga­ni­sa­ti­on und das Über­tra­gen kom­ple­xe­rer Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, die si­tua­ti­ons­ge­rech­te An­wen­dung von tech­ni­schen Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­men, die Wie­der­ga­be von Be­wer­tungs­an­sät­zen so­wie das Her­stel­len von Be­zü­gen, um tech­ni­sche Pro­blem­stel­lun­gen ent­spre­chend den all­ge­mei­nen Re­geln der Tech­nik zu lö­sen.
An­for­de­rungs­be­reich III um­fasst das pro­blem­be­zo­ge­ne An­wen­den und Über­tra­gen kom­ple­xer Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, die si­tua­ti­ons­ge­rech­te Aus­wahl von Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­men, das Her­stel­len von Be­zü­gen und das Be­wer­ten von Sach­ver­hal­ten.
Ope­ra­tor Er­läu­te­rung Zu­ord­nung
An­for­de­rungs­be­rei­che
ab­lei­ten
auf der Grund­la­ge re­le­van­ter Merk­ma­le sach­ge­rech­te Schlüs­se zie­hen
 II
ab­schät­zen
auf der Grund­la­ge von be­grün­de­ten Über­le­gun­gen Grö­ßen­ord­nun­gen an­ge­ben
 II
ana­ly­sie­ren, un­ter­su­chen
für ei­ne ge­ge­be­ne Pro­blem- oder Fra­ge­stel­lung sys­te­ma­tisch bzw. kri­te­ri­en­ge­lei­tet wich­ti­ge Be­stand­tei­le, Merk­ma­le oder Ei­gen­schaf­ten ei­nes Sach­ver­hal­tes oder ei­nes Ob­jek­tes er­schlie­ßen und de­ren Be­zie­hun­gen zu­ein­an­der dar­stel­len
 II
an­wen­den, über­tra­gen
ei­nen be­kann­ten Zu­sam­men­hang oder ei­ne be­kann­te Me­tho­de zur Lö­sungs­fin­dung bzw. Ziel­er­rei­chung auf ei­nen an­de­ren, ggf. un­be­kann­ten Sach­ver­halt be­zie­hen
 II, III
auf­bau­en
Ob­jek­te und Ge­rä­te ziel­ge­rich­tet an­ord­nen und kom­bi­nie­ren
 II
auf­stel­len
fach­spe­zi­fi­sche For­meln, Glei­chun­gen, Glei­chungs­sys­te­me, Re­ak­ti­ons­glei­chun­gen oder Re­ak­ti­ons­me­cha­nis­men ent­wi­ckeln
 II
aus­wer­ten
In­for­ma­tio­nen (Da­ten, Ein­zel­er­geb­nis­se o. a.) er­fas­sen, in ei­nen Zu­sam­men­hang stel­len und dar­aus ziel­ge­rich­te­te Schluss­fol­ge­run­gen zie­hen
 II, III
be­grün­den
Sach­ver­hal­te oder Aus­sa­gen auf Re­geln, Ge­setz­mä­ßig­kei­ten bzw. kau­sa­le Zu­sam­men­hän­ge oder wei­te­re nach­voll­zieh­ba­re Ar­gu­men­te zu­rück­füh­ren
II
be­nen­nen, nen­nen, an­ge­ben
Ele­men­te, Sach­ver­hal­te, Be­grif­fe, Da­ten oder Fak­ten oh­ne Er­läu­te­rung und Wer­tung auf­zäh­len
 I
be­ra­ten
ei­ne Ent­schei­dungs­fin­dung fach­kom­pe­tent und ziel­grup­pen­ge­recht un­ter­stüt­zen
 III
be­rech­nen
Er­geb­nis­se aus ge­ge­be­nen Wer­ten/Da­ten durch Re­chen­ope­ra­tio­nen oder gra­fi­sche Lö­sungs­me­tho­den ge­win­nen
 II
be­schrei­ben
Struk­tu­ren, Si­tua­tio­nen, Zu­sam­men­hän­ge, Pro­zes­se und Ei­gen­schaf­ten ge­nau, sach­lich, struk­tu­riert und fach­sprach­lich rich­tig mit ei­ge­nen Wor­ten dar­stel­len, da­bei wird auf Er­klä­run­gen oder Wer­tun­gen ver­zich­tet
 I, II
be­stim­men
Sach­ver­hal­te und In­hal­te prä­gnant und kri­te­ri­en­ge­lei­tet dar­stel­len
 I
be­stä­ti­gen, be­wei­sen, nach­wei­sen, über­prü­fen, prü­fen
die Gül­tig­keit, Schlüs­sig­keit und Be­rech­ti­gung ei­ner Aus­sa­ge (z. B. Hy­po­the­se, Mo­dell oder Na­tur­ge­setz) durch ein Ex­pe­ri­ment, ei­ne lo­gi­sche Her­lei­tung oder sach­li­che Ar­gu­men­ta­ti­on be­le­gen bzw. wi­der­le­gen
 III
be­ur­tei­len, Stel­lung neh­men
zu ei­nem Sach­ver­halt oder ei­ner Aus­sa­ge ei­ne ei­ge­ne, auf Fach­wis­sen so­wie fach­li­chen Me­tho­den und Maß­stä­ben be­grün­de­te Po­si­ti­on über de­ren Sinn­haf­tig­keit ver­tre­ten
III
be­wer­ten, kri­tisch Stel­lung neh­men
zu ei­nem Sach­ver­halt oder ei­ner Aus­sa­ge ei­ne ei­ge­ne, auf ge­sell­schaft­lich oder per­sön­li­che Wert­vor­stel­lun­gen be­grün­de­te Po­si­ti­on über de­ren An­nehm­bar­keit ver­tre­ten
III
cha­rak­te­ri­sie­ren
spe­zi­fi­schen Ei­gen­hei­ten von Sach­ver­hal­ten, Ob­jek­ten, Vor­gän­gen, Per­so­nen o. a. un­ter lei­ten­den Ge­sichts­punk­ten her­aus­ar­bei­ten und dar­stel­len
 II
dar­stel­len, dar­le­gen
Sach­ver­hal­te, Struk­tu­ren, Zu­sam­men­hän­ge, Me­tho­den oder Er­geb­nis­se etc. un­ter ei­ner be­stimm­ten Fra­ge­stel­lung in ge­eig­ne­ten Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­ma­ten struk­tu­riert und ggf. fach­sprach­lich wie­der­ge­ben
 I, II
dis­ku­tie­ren, er­ör­tern
Pro- und Kon­tra-Ar­gu­men­te zu ei­ner Aus­sa­ge bzw. Be­haup­tung ein­an­der ge­gen­über­stel­len und ab­wä­gen
 III
do­ku­men­tie­ren
Ent­schei­den­de Er­klä­run­gen, Her­lei­tun­gen und Skiz­zen zu ei­nem Sach­ver­halt bzw. Vor­gang an­ge­ben und sys­te­ma­tisch ord­nen
 I, II
durch­füh­ren
ei­ne vor­ge­ge­be­ne oder ei­ge­ne An­lei­tung bzw. An­wei­sung um­set­zen
 I, II
ein­ord­nen, ord­nen, zu­ord­nen, ka­te­go­ri­sie­ren, struk­tu­rie­ren
Be­grif­fe, Ge­gen­stän­de usw. auf der Grund­la­ge be­stimm­ter Merk­ma­le sys­te­ma­tisch ein­tei­len; so wird deut­lich, dass Zu­sam­men­hän­ge un­ter vor­ge­ge­be­nen oder selbst ge­wähl­ten Ge­sichts­punk­ten be­grün­det her­ge­stellt wer­den
 II
emp­feh­len
Pro­duk­te und Ver­hal­tens­wei­sen kun­den- und si­tua­ti­ons­ge­recht vor­schla­gen
 II
ent­wi­ckeln, ent­wer­fen, ge­stal­ten
Wis­sen und Me­tho­den ziel­ge­rich­tet und ggf. krea­tiv mit­ein­an­der ver­knüp­fen, um ei­ne ei­gen­stän­di­ge Ant­wort auf ei­ne An­nah­me oder ei­ne Lö­sung für ei­ne Pro­blem­stel­lung zu er­ar­bei­ten oder wei­ter­zu­ent­wi­ckeln
 III
er­klä­ren
Struk­tu­ren, Pro­zes­se oder Zu­sam­men­hän­ge ei­nes Sach­ver­halts nach­voll­zieh­bar, ver­ständ­lich und fach­lich be­grün­det zum Aus­druck brin­gen
I, II
er­läu­tern
We­sent­li­ches ei­nes Sach­ver­halts, Ge­gen­stands, Vor­gangs etc. mit­hil­fe von an­schau­li­chen Bei­spie­len oder durch zu­sätz­li­che In­for­ma­tio­nen ver­deut­li­chen
 II
er­mit­teln
ei­nen Zu­sam­men­hang oder ei­ne Lö­sung fin­den und das Er­geb­nis for­mu­lie­ren
 I, II
er­schlie­ßen
ge­for­der­te In­for­ma­tio­nen her­aus­ar­bei­ten oder Sach­ver­hal­te her­lei­ten, die nicht ex­pli­zit in dem zu­grun­de lie­gen­den Ma­te­ri­al ge­nannt wer­den
 II
for­mu­lie­ren
Ge­for­der­tes knapp und prä­zi­se zum Aus­druck brin­gen
 I
her­stel­len
nach an­er­kann­ten Re­geln Zu­be­rei­tun­gen aus Stof­fen ge­win­nen, an­fer­ti­gen, zu­be­rei­ten, be- oder ver­ar­bei­ten, um­fül­len, ab­fül­len, ab­pa­cken und kenn­zeich­nen
 II, III
im­ple­men­tie­ren
Struk­tu­ren un­d/o­der Pro­zes­se mit Blick auf ge­ge­be­ne Rah­men­be­din­gun­gen, Ziel­an­for­de­run­gen so­wie et­wai­ge Re­geln in ei­nem Sys­tem um­set­zen
 II, III
in­for­mie­ren
fach­li­che In­for­ma­tio­nen ziel­grup­pen­ge­recht auf­be­rei­ten und struk­tu­rie­ren
 II
in­ter­pre­tie­ren, deu­ten
auf der Grund­la­ge ei­ner be­schrei­ben­den Ana­ly­se Er­klä­rungs­mög­lich­kei­ten für Zu­sam­men­hän­ge und Wir­kungs­wei­sen mit Blick auf ein schlüs­si­ges Ge­samt­ver­ständ­nis auf­zei­gen
 III
kenn­zeich­nen
Mar­kie­run­gen, Sym­bo­le, Zei­chen oder Eti­ket­ten an­brin­gen, die gel­ten­den Kon­ven­tio­nen un­d/o­der ge­setz­li­chen Vor­schrif­ten ent­spre­chen
 II
op­ti­mie­ren
ei­nen ge­ge­be­nen tech­ni­schen Sach­ver­halt, ei­nen Quell­code oder ei­ne ge­ge­be­ne tech­ni­sche Ein­rich­tung so ver­än­dern, dass die ge­for­der­ten Kri­te­ri­en un­ter ei­nem be­stimm­ten As­pekt er­füllt wer­den
 II, III
pla­nen
die Schrit­te ei­nes Ar­beits­pro­zes­ses an­ti­zi­pie­ren und ei­ne nach­voll­zieh­ba­re er­geb­nis­ori­en­tier­te An­ord­nung der Schrit­te vor­neh­men
 III
prä­sen­tie­ren
Sach­ver­hal­te struk­tu­riert, me­di­en­ge­stützt und adres­sa­ten­ge­recht vor­tra­gen
 II
skiz­zie­ren
Sach­ver­hal­te, Ob­jek­te, Struk­tu­ren oder Er­geb­nis­se auf das We­sent­li­che re­du­zie­ren und über­sicht­lich dar­stel­len
 I
über­set­zen
ei­nen Sach­ver­halt oder ein­zel­ne Wör­ter und Phra­sen wort­ge­treu in ei­ner an­de­ren Spra­che wie­der­ge­ben
 II
va­li­die­ren, tes­ten
Er­brin­gung ei­nes do­ku­men­tier­ten Nach­wei­ses, dass ein be­stimm­ter Pro­zess oder ein Sys­tem kon­ti­nu­ier­lich ei­ne Funk­tio­na­li­tät/Pro­dukt er­zeugt, das die zu­vor de­fi­nier­ten Spe­zi­fi­ka­tio­nen und Qua­li­täts­merk­ma­le er­füllt
 I
ver­all­ge­mei­nern
aus ei­ner Ein­sicht ei­ne Aus­sa­ge for­mu­lie­ren, die für ver­schie­de­ne An­wen­dungs­be­rei­che Gül­tig­keit be­sitzt
 II
ver­drah­ten
Be­triebs­mit­tel nach ei­nem vor­ge­ge­be­nen An­schluss‑/ Strom­lauf­plan sys­te­ma­tisch elek­trisch mit­ein­an­der ver­bin­den
 I, II
ver­glei­chen, ge­gen­über­stel­len, un­ter­schei­den
nach vor­ge­ge­be­nen oder selbst ge­wähl­ten Ge­sichts­punk­ten pro­blem­be­zo­gen Ge­mein­sam­kei­ten, Ähn­lich­kei­ten und Un­ter­schie­de er­mit­teln und ge­gen­über­stel­len so­wie auf die­ser Grund­la­ge ggf. ein ge­wich­te­tes Er­geb­nis for­mu­lie­ren
 II
wie­der­ge­ben
we­sent­li­che In­for­ma­ti­on un­d/o­der de­ren Zu­sam­men­hän­ge struk­tu­riert zu­sam­men­fas­sen
 I
zeich­nen
ei­nen be­ob­acht­ba­ren oder ge­ge­be­nen Sach­ver­halt mit gra­fi­schen Mit­teln und ggf. un­ter Ein­hal­tung von fach­li­chen Kon­ven­tio­nen (z. B. Sym­bo­le, Per­spek­ti­ven etc.) dar­stel­len
 I, II
zei­gen, auf­zei­gen
Sach­ver­hal­te, Pro­zes­se o. a. sach­lich be­schrei­ben und er­läu­tern
 I, II
zu­sam­men­fas­sen
das We­sent­li­che sach­be­zo­gen, kon­zen­triert so­wie in­halt­lich und sprach­lich struk­tu­riert mit ei­ge­nen Wor­ten wie­der­ge­ben
I, II

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