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Ma­the­ma­tik, grund­le­gen­des An­for­de­rungs­ni­veau

Vor­be­mer­kun­gen

Ein­gangs­klas­se

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

40

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
Da­ten er­he­ben, aus­wer­ten und in­ter­pre­tie­ren; Mo­del­lie­rung, Re­gres­si­on, In­ter­po­la­ti­on
Bio­gra­fi­en be­rühm­ter Ma­the­ma­ti­ker (Eu­ler, Ber­noul­li, Gauß usw.)
Er­stel­len von Er­klär­vi­de­os
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung Fä­cher ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 1

Ver­tie­fung der Ma­the­ma­tik aus Se­kun­dar­stu­fe I

15
Die ers­te Bil­dungs­plan­ein­heit um­fasst The­men, die die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in der Se­kun­dar­stu­fe I be­reits ken­nen­ge­lernt ha­ben kön­nen, die je­doch im Ver­lauf der Ein­gangs­klas­se in un­ter­schied­li­chen As­pek­ten ver­tieft und er­wei­tert wer­den. Da­bei ist nicht nur an ei­ne in­halt­li­che Ver­tie­fung ge­dacht; viel­mehr sol­len die Schü­le­rin­nen und Schü­ler an­hand be­kann­ter The­men an das Ar­bei­ten in der Se­kun­dar­stu­fe II her­an­ge­führt wer­den. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ent­wi­ckeln ei­ne Grund­vor­stel­lung ma­the­ma­ti­scher Be­grif­fe, die es ih­nen er­laubt, In­hal­te zu ver­knüp­fen und ma­the­ma­ti­sche Aus­sa­gen selbst­stän­dig ab­zu­lei­ten. Sie ler­nen an ein­zel­nen Bei­spie­len den Be­weis als we­sent­li­ches Ele­ment der Ma­the­ma­tik ken­nen und er­fah­ren so ein tie­fe­res Ver­ständ­nis ma­the­ma­ti­scher In­hal­te.

BPE 1.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­grün­den die Not­wen­dig­keit der Zahl­be­reich­ser­wei­te­rung auf re­el­le Zah­len. Sie ge­ben Teil­men­gen der re­el­len Zah­len mit­hil­fe von Men­gen­sym­bo­len, durch Un­glei­chun­gen so­wie in In­ter­vall­schreib­wei­se an.
Zah­len­men­gen: \({\Bbb N}\), \({\Bbb Z}\), \({\Bbb Q}\), \({\Bbb R}\)

Teil­men­gen der re­el­len Zah­len
z. B. \(x \in {\Bbb R}_ + ^*\) bzw. \(x > 0\) bzw. \(x \in ]0;\infty [\)
In­ter­val­le
z. B. Ein­füh­rung im Zu­sam­men­hang mit De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­rei­chen von Funk­tio­nen oder bei Un­glei­chun­gen

BPE 1.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern den Funk­ti­ons­be­griff an Bei­spie­len aus dem All­tag. Sie ent­schei­den, ob ei­ne ge­ge­be­ne Zu­ord­nung ein­deu­tig oder nicht ein­deu­tig ist. Dar­über hin­aus er­läu­tern sie die Be­grif­fe De­fi­ni­ti­ons­be­reich, De­fi­ni­ti­ons­lü­cke und Wer­te­be­reich und er­mit­teln den De­fi­ni­ti­ons- und den Wer­te­be­reich ei­ner gra­fisch, al­ge­bra­isch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­on, auch im Kon­text ei­ner An­wen­dungs­si­tua­ti­on.
Zu­ord­nun­gen: ein­deu­ti­g/nicht ein­deu­tig

Funk­ti­ons­be­griff
Re­la­ti­ons­be­griff
De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­reich
z. B. \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) mit \({D_f} = [0,5;\infty [\) und \({W_f} = {{\Bbb R}_ + }\)
Ge­schwin­dig­keit – Brems­weg mit \(D = {{\Bbb R}_ + }\) und \(W = {{\Bbb R}_ + }\)
Stück­zah­len – Pro­duk­ti­ons­kos­ten mit \(D = {\Bbb N}\) und \(W = {{\Bbb R}_ + }\)
De­fi­ni­ti­ons­lü­cke
z. B. \(g(x) = \frac{1}{x}\); \({D_g} = {\Bbb R}\backslash \{ 0\} ;\,{W_g} = {\Bbb R}\backslash \{ 0\} \)

BPE 1.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ge­ben Funk­tio­nen durch Ta­bel­len, Glei­chun­gen, Funk­ti­ons­gra­phen oder Tex­te an, wech­seln zwi­schen den Dar­stel­lungs­for­men und be­wer­ten die­se im je­wei­li­gen Kon­text. Sie iden­ti­fi­zie­ren ab­hän­gi­ge und un­ab­hän­gi­ge Va­ria­blen, be­schrei­ben de­ren Zu­sam­men­hang und nen­nen cha­rak­te­ris­ti­sche Wer­te­paa­re. Sie er­läu­tern Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen den Funk­ti­ons­dar­stel­lun­gen un­ter Ver­wen­dung von Fach­spra­che und ma­the­ma­ti­scher Sym­bol­schreib­wei­se.
Dar­stel­lung von Funk­tio­nen

  • ta­bel­la­risch
z. B. Mess­wer­te: Ge­wicht, Was­ser­stand
  • al­ge­bra­isch
z. B. \(f(x) = 2x;\,f(x) = {x^2} + 1;\,f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(f(x) = \sqrt {2x + 1} \); bzw. \(f: x \mapsto \sqrt {2x + 1}\)
z. B. verschiedene Gleichungsformen derselben Funktion wie \(y = mx + b;\,y = m\left( {x + \frac{b}{m}} \right) \); \(rx + sy + t = 0\)
  • gra­fisch
z. B. Ge­fäß­for­men – Füll­hö­he
z. B. die Graphen zu\(f(x) = 2x;\,f(x) = {x^2}\); \(f(x) = {2^x};\,f(x) = \sin (2x);\,f(x) = \frac{2}{x}\)
  • ver­bal
z. B. Je­dem Kreis­ra­di­us wird die Kreis­flä­che zu­ge­ord­net.
Je­dem Schü­ler wird sein Al­ter zu­ge­ord­net.
Schreib- und Sprech­wei­sen
z. B.
\(f(2) = 4\)
Der Punkt \(P(2|4) \) liegt auf dem Funk­ti­ons­gra­phen von \(f\)
\(g(x) <0\) für \(x \in {D_g}\).
Der Graph von ver­läuft un­ter­halb der x-Ach­se
\(f(3) = g(3) = - 7\).
Die Funk­ti­ons­gra­phen von \(f\) und \(g\) schnei­den sich im Schnitt­punkt \(S(3| - 7) \).

BPE 1.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten Ge­ra­den als Gra­phen li­nea­rer Funk­tio­nen. Sie ge­ben die Glei­chun­gen be­son­de­rer Ge­ra­den an und be­grün­den, dass ei­ne Par­al­le­le zur y-Ach­se nicht Graph ei­ner Funk­ti­on ist. Sie be­rech­nen den Stei­gungs­win­kel ei­ner Ge­ra­den und deu­ten ihn gra­fisch. Sie in­ter­pre­tie­ren li­nea­re Un­glei­chun­gen geo­me­trisch und er­mit­teln die Lö­sungs­men­gen mit Äqui­va­lenz­um­for­mun­gen. Eben­so un­ter­su­chen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die La­ge­be­zie­hung zwei­er Ge­ra­den an­hand ih­rer Glei­chun­gen und der Or­tho­go­na­li­täts­be­din­gung.
Ge­ra­den als Graph li­nea­rer Funk­tio­nen

Be­son­de­re Ge­ra­den

  • Par­al­le­len zu den Ko­or­di­na­te­nach­sen
z. B. \(x = 2;y = 2\)
  • ers­te und zwei­te Win­kel­hal­bie­ren­de

Steigungswinkel einer Geraden, \(m = tan (\alpha)\)

Li­nea­re Un­glei­chun­gen

La­ge­be­zie­hung zwei­er Ge­ra­den

Beweis der Orthogonalitätsbedingung: anschaulich und formal, \( m_g \cdot m_h = - 1\)

BPE 1.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten Po­ten­zen mit ra­tio­na­len Ex­po­nen­ten als Wur­zel- oder Bruch­aus­drü­cke und wech­seln zwi­schen den Dar­stel­lungs­for­men. Sie er­läu­tern an Bei­spie­len, dass die Re­chen­ge­set­ze für das Mul­ti­pli­zie­ren, das Di­vi­die­ren und das Po­ten­zie­ren von Po­ten­zen auch für ra­tio­na­le Ex­po­nen­ten gel­ten und wen­den die­se Re­chen­ge­set­ze an.
Po­ten­zen mit ra­tio­na­len Ex­po­nen­ten
\({a^0} = 1;\,{a^{ - r}} = \frac{1}{{{a^r}}};\,{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{a^m} \)
z. B. vor den Po­tenz­funk­tio­nen oder vor den Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen
Po­tenz­ge­set­ze

BPE 2

Po­tenz­funk­tio­nen und zu­ge­hö­ri­ge Glei­chun­gen

10
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­wei­tern ih­re Kennt­nis­se über li­nea­re und qua­dra­ti­sche Funk­tio­nen auf Po­tenz­funk­tio­nen mit ganz­zah­li­gen und ge­bro­che­nen Hoch­zah­len. Sie ent­de­cken die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten der Gra­phen die­ser Funk­tio­nen und set­zen die­se in Be­zie­hung zum Funk­ti­ons­term. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­wei­tern ih­re Kennt­nis­se über qua­dra­ti­sche Funk­tio­nen, füh­ren Trans­for­ma­tio­nen aus­ge­hend von Pa­ra­beln auch an Gra­phen von Po­tenz­funk­tio­nen durch und stel­len die­se in Zu­sam­men­hang mit dem Funk­ti­ons­term.

BPE 2.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler skiz­zie­ren Gra­phen von Po­tenz­funk­tio­nen. Sie er­mit­teln die Ei­gen­schaf­ten von Po­tenz­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und Funk­ti­ons­gra­phen und er­läu­tern den Ste­tig­keits­be­griff an­schau­lich an­hand der Gra­phen von Po­tenz­funk­tio­nen.
Funk­ti­ons­ty­pen
z. B. Sektgläser, Schwingungsdauer Pendel, Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt A: \(y = \frac{A}{x}\)
  • \(f(x) = {x^n}\) mit \(n \in {{\Bbb N}^*}\)
z. B. \(f(x) = {x^5}\)
  • \(f(x) = {x^{ - n}}\) mit \(n \in {{\Bbb N}^*}\)
z. B. \(f(x) = {x^{ - 2}}\)
  • \(f(x) = {x^{\frac{1}{n}}}\) mit \(n \in {{\Bbb N}^*}\)
z. B. \(f(x) = {x^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{x} \)
Funk­ti­ons­gra­phen

  • glo­ba­les Ver­hal­ten:
    für \(x \to \pm \infty \) gilt \(f(x) \to \ldots \)
z. B. in Abhängigkeit von \(f(x) = a \cdot {x^2}\)
waagerechte Asymptote: \(f(x) = \frac{1}{x} + d\)
  • Ver­hal­ten bei An­nä­he­rung an die De­fi­ni­ti­ons­lü­cke
senk­rech­te Asym­pto­te
an­schau­li­che Ein­füh­rung des Ste­tig­keits­be­griffs
  • Sym­me­trie:
    zum Ur­sprung \(f( - x) = - f(x) \),
    zur y-Ach­se \(f( - x) = f(x) \)

  • De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­reich

  • Ste­tig­keit
Zeich­nen des Gra­phen ist oh­ne Ab­set­zen des Stifts mög­lich

BPE 2.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben an­hand von Funk­ti­ons­ter­men und Funk­ti­ons­gra­phen wie ein Graph mit­tels Trans­for­ma­tio­nen – un­ter Be­rück­sich­ti­gung der Rei­hen­fol­ge – aus dem Gra­phen der un­ten auf­ge­führ­ten Funk­tio­nen ent­steht. Sie ge­ben zu ei­ner ver­bal oder gra­fisch ge­ge­be­nen Trans­for­ma­ti­on den zu­ge­hö­ri­gen Funk­ti­ons­term an.
Funk­tio­nen

  • \(f(x) = {x^2}\)
  • \(f(x) = \frac{1}{x}\)
  • \(f(x) = \sqrt x \)

Trans­for­ma­tio­nen

  • Spie­ge­lung an der x-Ach­se
  • Stre­ckung in y-Rich­tung
  • Ver­schie­bung in y-Rich­tung

  • Ver­schie­bung in x-Rich­tung
Ver­än­de­rung der Sym­me­trie­ach­se durch Ver­schie­bung der Pa­ra­bel

BPE 2.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men Lö­sun­gen ein­fa­cher Po­tenz­glei­chun­gen al­ge­bra­isch. Sie be­grün­den die Not­wen­dig­keit ei­ner Pro­be beim Lö­sen ei­ner Wur­zel­glei­chung.
Po­tenz­glei­chun­gen
z. B.
\({x^3} = - 5;\,{x^4} = 6;\,{x^{ - 2}} = 8;
\,{x^{ - 2}} = - 8;\,{x^{\frac{1}{2}}} = 4;\,\sqrt {x - 1} = - 1\)
Um­keh­rung der Re­chen­ope­ra­tio­nen
bei Wur­zel­glei­chun­gen mit Pro­be

BPE 3

Po­ly­nom­funk­tio­nen und zu­ge­hö­ri­ge Glei­chun­gen

20
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen Po­ly­nom­funk­tio­nen und de­ren Gra­phen ken­nen. Sie ent­de­cken die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten der Gra­phen die­ser Funk­tio­nen und er­wei­tern ih­re ma­the­ma­ti­sche Aus­drucks­fä­hig­keit, in­dem sie Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen Funk­ti­ons­ter­men und Funk­ti­ons­gra­phen er­läu­tern. In ein­fa­chen Fäl­len lö­sen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler Po­ly­nom­glei­chun­gen und qua­dra­ti­sche Un­glei­chun­gen und ver­knüp­fen da­bei for­ma­les Rech­nen mit der Ver­an­schau­li­chung durch ent­spre­chen­de Funk­ti­ons­gra­phen. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen Funk­tio­nen zur Be­schrei­bung und Un­ter­su­chung quan­ti­fi­zier­ba­rer Zu­sam­men­hän­ge, z. B. aus Wirt­schaft und Tech­nik so­wie aus Phy­sik, Che­mie und Bio­lo­gie.

BPE 3.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben Po­ly­nom­funk­tio­nen mit­hil­fe un­ter­schied­li­cher Dar­stel­lungs­for­men und be­grün­den die Wahl der Form im ma­the­ma­ti­schen bzw. im an­wen­dungs­ori­en­tier­ten Kon­text.
Po­ly­nom­funk­ti­on n-ten Gra­des
Dar­stel­lungs­for­men

  • all­ge­mei­ne Form
z. B. \(f(x) = {x^5} - 2{x^3} + 4x\)
  • Pro­dukt­form
z. B. \(f(x) = 3(x - 2){(x + 1)^3}\)
  • Schei­tel­form der Pa­ra­bel
z. B. \(f(x) = 0,5{(x - 3)^2} + 5\)

BPE 3.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln die Ei­gen­schaf­ten von Po­ly­nom­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und skiz­zie­ren die Funk­ti­ons­gra­phen. Sie ge­ben die Ei­gen­schaf­ten auch mit ma­the­ma­ti­scher Sym­bol­spra­che an. Dar­über hin­aus zeich­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ei­nen Funk­ti­ons­gra­phen mit­hil­fe ei­ner
Wer­te­ta­bel­le.
Funk­ti­ons­graph

  • globales Verhalten: für \(x \to \pm \infty \) gilt \(f(x) \to \ldots \)

  • Sym­me­trie:
    zum Ur­sprung \(f( - x) = - f(x) \)
    zur y-Ach­se \(f( - x) = f(x) \)
nur ge­ra­de bzw. un­ge­ra­de Ex­po­nen­ten
z. B. \(f(x) = 2{x^4} - 3{x^2}\); \(f(x) = {x^3} + t{x^2} + x\)
  • ge­mein­sa­me Punk­te mit den Ko­or­di­na­te­nach­sen
z. B. \(f(x) = - 2{x^3} + 4x\)
\(f(x) = 3(x - t){(x + 1)^3}\) Viel­fach­heit der Null­stel­len in Ab­hän­gig­keit von \(t\)
Fun­da­men­tal­satz der Al­ge­bra

BPE 3.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men aus gra­fisch, ta­bel­la­risch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten ei­nen ge­eig­ne­ten An­satz und Be­din­gun­gen, die zur Er­mitt­lung des Funk­ti­ons­terms die­nen. Eben­so er­mit­teln sie in ge­eig­ne­ten Fäl­len den Funk­ti­ons­term.
Auf­stel­len von Funk­ti­ons­ter­men aus

  • Funk­ti­ons­graph
  • Text
  • Wer­te­ta­bel­le
z. B.
\(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + 2\)
\(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + bx\)
\(f(x) = a(x - {x_1}){(x - {x_2})^2}\)

BPE 3.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men die Lö­sung von Po­ly­nom­glei­chun­gen al­ge­bra­isch und be­grün­den die Aus­wahl der je­wei­li­gen Lö­sungs­stra­te­gie. Sie deu­ten die be­rech­ne­ten Lö­sun­gen gra­fisch als Null­stel­len ei­ner Funk­ti­on be­zie­hungs­wei­se als Schnitt­stel­len zwei­er Funk­tio­nen und be­stim­men die Lö­sung qua­dra­ti­scher Un­glei­chun­gen mit­hil­fe des Funk­ti­ons­gra­phen.
Lö­sen von Glei­chun­gen

  • Um­keh­rung der Re­chen­ope­ra­tio­nen
z. B. \({x^5} = - 2\)
  • Fak­to­ri­sie­rung durch Aus­klam­mern und Satz vom Null­pro­dukt
z. B. \(0 = 3{x^4} - t{x^2}\)
  • Lö­sungs­for­meln für qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen

  • Sub­sti­tu­ti­on

  • nu­me­ri­sche Lö­sung
Wer­te­ta­bel­le
Qua­dra­ti­sche Un­glei­chun­gen
qua­dra­ti­sche Glei­chung mit an­schlie­ßen­der gra­fi­scher In­ter­pre­ta­ti­on

BPE 3.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten Po­ly­nom­funk­tio­nen und ih­re Ei­gen­schaf­ten in ei­nem ge­ge­be­nen Sach­zu­sam­men­hang, zum Bei­spiel aus der Wirt­schaft, Tech­nik oder Na­tur­wis­sen­schaft. Sie er­mit­teln Po­ly­nom­funk­tio­nen zur Dar­stel­lung ein­fa­cher Op­ti­mie­rungs­pro­ble­me und in­ter­pre­tie­ren Wer­te­ta­bel­len, Funk­ti­ons­gra­phen und Funk­ti­ons­ter­me zur Lö­sung die­ser Pro­ble­me.

Po­ly­nom­funk­tio­nen in An­wen­dun­gen
z. B. Brü­cken­bo­gen, Wurf­pa­ra­bel, Kos­ten­funk­ti­on
  • aus dem je­wei­li­gen Pro­fil­be­reich

Op­ti­mie­rungs­pro­ble­me
z. B. op­ti­ma­le Flä­che, op­ti­ma­le Schach­tel mit Funk­ti­ons­graph, Ge­winn­ma­xi­mum
  • Ziel­funk­ti­on
  • De­fi­ni­ti­ons- und Wer­te­be­reich
  • Ma­xi­mum/Mi­ni­mum

BPE 4

Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen und zu­ge­hö­ri­ge Glei­chun­gen

20
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen die Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen zur Be­schrei­bung von ex­po­nen­ti­el­len Wachs­tums- bzw. Zer­falls­pro­zes­sen ken­nen. Sie ent­de­cken die cha­rak­te­ris­ti­schen Ei­gen­schaf­ten der Gra­phen die­ser Funk­tio­nen und set­zen die­se in Be­zie­hung zum Funk­ti­ons­term. Dar­über hin­aus trans­for­mie­ren sie die­se Funk­ti­ons­gra­phen und be­schrei­ben die Trans­for­ma­tio­nen an­hand des Funk­ti­ons­terms. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men Funk­ti­ons­ter­me aus vor­ge­ge­be­nen Ei­gen­schaf­ten und ler­nen den Lo­ga­rith­mus als Hilfs­mit­tel zur Lö­sung von Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen ken­nen und ent­de­cken die Zahl \( e \) als be­son­de­re Ba­sis.

BPE 4.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler iden­ti­fi­zie­ren ei­ne Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on an­hand des Funk­ti­ons­terms und des Funk­ti­ons­gra­phen. Sie ge­ben ei­nen Nä­he­rungs­wert der Eu­ler­schen Zahl e an, nen­nen die be­son­de­re Be­deu­tung der Ba­sis \( e \) bei Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen und wech­seln die Dar­stel­lung zwi­schen ei­ner be­lie­bi­gen Ba­sis und der Ba­sis \( e \).
Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

  • zur Ba­sis \(q\) mit \(q > 0\) und \(q \ne 1\)
    \(f(x) = {q^x}\)

  • zur Ba­sis \(e\)
    \(f(x) = {e^x}\)
z. B. \(f(x) = {2^x} = {e^{\ln (2) \cdot x}}\)
Eu­ler­sche Zahl
z. B. ste­ti­ge Ver­zin­sung
z. B. im Kon­text der Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung

BPE 4.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben an­hand von Funk­ti­ons­ter­men oder Funk­ti­ons­gra­phen, wie der Graph ei­ner Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on mit­tels Trans­for­ma­tio­nen – un­ter Be­rück­sich­ti­gung der Rei­hen­fol­ge – aus dem Funk­ti­ons­gra­phen \( y = {e^x} \) ent­steht. Sie ge­ben zu ei­ner ver­bal oder gra­fisch ge­ge­be­nen Trans­for­ma­ti­on den zu­ge­hö­ri­gen Funk­ti­ons­term an.
Trans­for­ma­tio­nen

  • Spie­ge­lung an der y-Ach­se
  • Spie­ge­lung an der x-Ach­se
  • Stre­ckung in y-Rich­tung

  • Stre­ckung in x-Rich­tung
z. B. Wechsel der Basis \(f(x) = {2^x} = {e^{\ln (2) \cdot x}}\)
  • Ver­schie­bung in y-Rich­tung

  • Ver­schie­bung in x-Rich­tung
Besonderheit: \({q^{x + 2}} = {q^2} \cdot {q^x}\)
Rei­hen­fol­ge der Trans­for­ma­tio­nen
z. B.
\(f(x) = - 3 \cdot {e^{ - 0,5x}} + 5\)
\(f(x) = 5 \cdot \left( {1 - {e^{ - 2x}}} \right) \)

BPE 4.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln die Ei­gen­schaf­ten von Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und skiz­zie­ren die Funk­ti­ons­gra­phen. Sie ge­ben die Ei­gen­schaf­ten auch mit ma­the­ma­ti­scher Sym­bol­spra­che an und zeich­nen ei­nen Funk­ti­ons­gra­phen mit­hil­fe ei­ner Wer­te­ta­bel­le.
Graph der Funk­ti­on
z. B. \(f(x) = - 3 \cdot {e^{ - 0,5x}} + t\)
  • globales Verhalten für \(x \to \pm \infty \): asymptotisches Verhalten
z. B. für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to t\)
  • globales Verhalten für \(x \to \pm \infty \): Gleichung der Asymptote
z. B. \(y = t\)
  • globales Verhalten für \(x \to \pm \infty\): \(f(x) \to \pm \infty\)
z. B. für \(x \to - \infty\) gilt \(f(x) \to - \infty \)
  • ge­mein­sa­me Punk­te mit den Ko­or­di­na­te­nach­sen

  • stei­gen­der bzw. fal­len­der Ver­lauf
Ein­fluss der Pa­ra­me­ter auf den Ver­lauf
Wachs­tum, Zer­fall, Mo­no­to­nie

BPE 4.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men aus gra­fisch, ta­bel­la­risch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten ei­nen ge­eig­ne­ten An­satz und Be­din­gun­gen, die zur Er­mitt­lung ei­nes Funk­ti­ons­terms die­nen. Dar­über hin­aus er­mit­teln sie in ge­eig­ne­ten Fäl­len ei­nen Funk­ti­ons­term.
Auf­stel­len von Funk­ti­ons­ter­men aus
LGS mit zwei Un­be­kann­ten und nicht­li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me
\(f(x) = a{e^{bx}} + d\)
\(f(x) = a{q^x} + d\)
  • Funk­ti­ons­graph
  • Text
  • Wer­te­ta­bel­le

BPE 4.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten den Lo­ga­rith­mus ei­ner Zahl als Lö­sung ei­ner Ex­po­nen­ti­al­glei­chung. Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen lö­sen sie al­ge­bra­isch und be­grün­den die Aus­wahl der je­wei­li­gen Lö­sungs­stra­te­gie. Die be­rech­ne­ten Lö­sun­gen in­ter­pre­tie­ren die Schü­le­rin­nen und Schü­ler gra­fisch als Null­stel­len ei­ner Funk­ti­on be­zie­hungs­wei­se als Schnitt­stel­len zwei­er Funk­tio­nen.
Lo­ga­rith­mus
\({q^x} = y \Leftrightarrow x = {\log _q}(y) \)
ins­be­son­de­re \(q = 2\) und \(q = 10\) so­wie \(q = e\)
Vor­kom­men in Na­tur­wis­sen­schaft und Tech­nik
Lö­sen von Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen

  • Um­keh­rung der Re­chen­ope­ra­tio­nen
z. B.
\(4 \cdot {0,5^x} = 100\)
\({e^x} = 3\)
\(2{e^x} - 4 = 8\)
\(2{e^{ - 0,5x}} = 6\)
\({e^x} = - 5\)
  • Fak­to­ri­sie­rung durch Aus­klam­mern und Satz vom Null­pro­dukt
z. B. \(2{e^x} = {e^{2x}}\)
  • Sub­sti­tu­ti­on
z. B. \(2{e^x} - 3 = {e^{2x}}\)

BPE 4.6

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern den Un­ter­schied zwi­schen li­nea­rem und ex­po­nen­ti­el­lem Wachs­tum. Sie be­schrei­ben ex­po­nen­ti­el­le Wachs­tums- und Zer­falls­pro­zes­se mit­hil­fe von Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen und deu­ten die Pa­ra­me­ter des Funk­ti­ons­terms \(f(x) = a{e^{bx}} + d\) oder \(f(x) = a{q^x} + d\) im Sach­zu­sam­men­hang.
Li­nea­res Wachs­tum (Zu- und Ab­nah­me)
z. B. Ab­bren­nen ei­ner Ker­ze
Ex­po­nen­ti­el­les Wachs­tum
z. B. Bak­te­ri­en­wachs­tum, Ka­pi­tal­ent­wick­lung, ra­dio­ak­ti­ver Zer­fall, Ent­la­dung ei­nes Kon­den­sa­tors
Be­schränk­tes Wachs­tum
z. B. Auf­la­den ei­nes Kon­den­sa­tors, Lö­sen ei­nes Stof­fes, Ab­küh­lungs­pro­zess

BPE 5

Mo­del­lie­ren mit Funk­tio­nen und Pro­blem­lö­sen

10
Vie­le As­pek­te rea­ler Vor­gän­ge kön­nen durch ei­ne Ma­the­ma­ti­sie­rung be­schrie­ben und un­ter­sucht wer­den. Beim Be­ar­bei­ten rea­li­täts­be­zo­ge­ner Pro­ble­me (Mo­del­lie­ren) wen­den Schü­le­rin­nen und Schü­ler Vor­ge­hens­wei­sen des Pro­blem­lö­sens an und ler­nen zu­sätz­lich die Be­son­der­hei­ten, die sich durch den Rea­li­täts­be­zug er­ge­ben: Ma­the­ma­ti­sche Mo­del­le be­schrei­ben ver­ein­fa­chen­de Aus­schnit­te der Rea­li­tät, Grö­ßen kön­nen nur nä­he­rungs­wei­se be­kannt sein und Er­geb­nis­se ha­ben ei­ne be­grenz­te Gül­tig­keit und Reich­wei­te. Beim Mo­del­lie­ren er­ken­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ma­the­ma­ti­sche Struk­tu­ren in der Welt und er­le­ben Ma­the­ma­tik als ei­ne Spra­che, um die­se zu be­schrei­ben. Die­se Bil­dungs­plan­ein­heit soll in­te­gra­tiv an ein­fa­chen Bei­spie­len un­ter­rich­tet wer­den.

BPE 5.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen ers­te Prin­zi­pi­en beim Mo­del­lie­ren und Pro­blem­lö­sen. Sie er­fas­sen ei­ne ma­the­ma­ti­sche Fra­ge­stel­lung, be­grün­den die Wahl ei­nes ma­the­ma­ti­schen Mo­dells im Sach­zu­sam­men­hang, ver­wen­den das Mo­dell zur Lö­sung des Pro­blems und in­ter­pre­tie­ren ih­re Er­geb­nis­se im Kon­text der Fra­ge­stel­lung. Sie re­flek­tie­ren ih­ren Lö­sungs­pro­zess.
Ana­ly­se und Ver­ste­hen ei­nes Sach­zu­sam­men­hangs (von der Re­al­si­tua­ti­on zum rea­len Mo­dell)
z. B. in ei­ge­nen Wor­ten be­schrei­ben, In­for­ma­tio­nen ent­neh­men oder be­schaf­fen, Ge­ge­be­nes und Ge­such­tes iden­ti­fi­zie­ren, Un­be­kann­tes schät­zen oder über­schla­gen, Si­tua­ti­on ver­ein­fa­chen, Fra­gen oder Ver­mu­tun­gen auf­stel­len
Aus­wahl und An­wen­den ei­nes ma­the­ma­ti­schen Mo­dells, auch Re­gres­si­on mit di­gi­ta­len Hilfs­mit­teln (vom rea­len Mo­dell zum ma­the­ma­ti­schen Mo­dell, inn­er­ma­the­ma­ti­sche Lö­sung)
z. B. re­le­van­te Größen (u. a. Ge­ge­be­nes und Ge­such­tes) und ih­re Be­zie­hun­gen iden­ti­fi­zie­ren, Mo­del­le aus Al­ge­bra oder Ana­ly­sis aus­wäh­len, Pas­sung und Ge­nau­ig­keit ei­nes Mo­dells be­ur­tei­len, ma­the­ma­ti­sche Werk­zeu­ge und Hilfs­mit­tel nut­zen, bei ma­the­ma­ti­schen Lö­sungs­schrit­ten Stra­te­gi­en an­wen­den
In­ter­pre­ta­ti­on, Über­prü­fung und Ana­ly­se von Lö­sungs­an­satz (Mo­dell), Lö­sungs­weg und Er­geb­nis
z. B. die ei­ge­nen Lö­sun­gen im Sach­zu­sam­men­hang in­ter­pre­tie­ren und va­li­die­ren, Feh­ler ana­ly­sie­ren und kon­struk­tiv nut­zen, Gül­tig­keit und Reich­wei­te des Mo­dells und der Er­geb­nis­se be­wer­ten, Über­le­gun­gen zur Ver­bes­se­rung der Mo­del­lie­rung an­stel­len

BPE 6

Än­de­rungs­ra­te und gra­fi­sches Dif­fe­ren­zie­ren

10
Die Bil­dungs­plan­ein­heit dient der vor­be­rei­ten­den Be­griffs­bil­dung für die Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung in den Jahr­gangs­stu­fen. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ent­wi­ckeln hand­lungs­ori­en­tiert ei­ne grund­sätz­li­che Vor­stel­lung der Be­grif­fe mo­men­ta­ne und durch­schnitt­li­che Än­de­rungs­ra­te. Sie er­wei­tern ih­re Mo­del­lie­rungs- und Pro­blem­lö­se­kom­pe­tenz, in­dem sie Re­al­si­tua­tio­nen ma­the­ma­tisch durch den Be­griff der Än­de­rungs­ra­te aus ei­nem wei­te­ren Blick­win­kel un­ter­su­chen und be­schrei­ben kön­nen. Ab­schlie­ßend ler­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ers­te Zu­sam­men­hän­ge der Gra­phen von Funk­ti­on und Stei­gung ken­nen und for­mu­lie­ren da­von aus­ge­hend ers­te Hy­po­the­sen über den al­ge­brai­schen Zu­sam­men­hang.

BPE 6.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern in ver­schie­de­nen An­wen­dungs­si­tua­tio­nen den Un­ter­schied zwi­schen mo­men­ta­ner und durch­schnitt­li­cher Än­de­rungs­ra­te und deu­ten gra­fisch oder rech­ne­risch er­mit­tel­te Än­de­rungs­ra­ten im An­wen­dungs­kon­text.
Weg – Zeit – Ge­schwin­dig­keit
Kos­ten – Pro­duk­ti­ons­men­ge – Grenz­kos­ten

Wachs­tum
z. B. Be­völ­ke­rungs­wachs­tum, Bak­te­ri­en­wachs­tum, Pflan­zen­wachs­tum, Flüs­sig­keits­ab­küh­lung
Ti­tra­ti­on (pH-Wer­t/Kon­zen­tra­ti­on),
Ab­nah­me der Licht­in­ten­si­tät in ver­schie­de­nen Me­di­en, C14-Zer­fall

BPE 6.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten die durch­schnitt­li­che Än­de­rungs­ra­te als Stei­gung der Se­kan­te und be­stim­men die­se al­ge­bra­isch und gra­fisch aus ei­nem Funk­ti­ons­gra­phen, ei­nem Funk­ti­ons­term oder ei­ner Wer­te­ta­bel­le. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men gra­fisch die mo­men­ta­ne Än­de­rungs­ra­te als Stei­gung der Tan­gen­te.
Durch­schnitt­li­che Än­de­rungs­ra­te

  • Sekantensteigung \(\frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)
Mo­men­ta­ne Än­de­rungs­ra­te an ei­nem Punkt

  • Tan­gen­ten­stei­gung gra­fisch

BPE 6.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men gra­fisch Wer­te der Tan­gen­ten­stei­gung, zeich­nen da­von aus­ge­hend den Gra­phen und deu­ten die­sen als Gra­phen der Ab­lei­tungs­funk­ti­on. Sie be­schrei­ben Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen den bei­den Funk­ti­ons­gra­phen und ent­wi­ckeln ers­te Hy­po­the­sen über ei­nen mög­li­chen al­ge­brai­schen Zu­sam­men­hang.
Ab­lei­tungs­funk­ti­on

  • Wer­te­ta­bel­le der Stei­gun­gen
  • Graph der Ab­lei­tungs­funk­ti­on
Hy­po­the­se über den Funk­ti­ons­term der Ab­lei­tungs­funk­ti­on
Hy­po­the­se über ers­te Ab­lei­tungs­re­geln

BPE 7

Vek­t­o­ri­el­le Geo­me­trie – Grund­la­gen

15
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen Vek­to­ren als ge­eig­ne­tes Hilfs­mit­tel zur Be­schrei­bung geo­me­tri­scher Ob­jek­te in der Ebe­ne und im Raum ken­nen. Sie er­wei­tern ihr räum­li­ches Vor­stel­lungs­ver­mö­gen und ma­chen sich mit der vek­t­o­ri­el­len Schreib­wei­se ver­traut. Sie nut­zen die Vek­tor­rech­nung als ef­fek­ti­ves Werk­zeug zur ana­ly­ti­schen Be­hand­lung geo­me­tri­scher Fra­ge­stel­lun­gen und stel­len fach­über­grei­fen­de Ver­bin­dun­gen her.

BPE 7.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten Vek­to­ren als Pfeil­klas­sen und in­ter­pre­tie­ren sie geo­me­trisch als Ver­schie­bung. Sie zeich­nen geo­me­tri­sche Ob­jek­te im drei­di­men­sio­na­len Ko­or­di­na­ten­sys­tem und nut­zen das Ko­or­di­na­ten­sys­tem, um geo­me­tri­sche Sach­ver­hal­te zu be­schrei­ben.
Vek­tor­be­griff
Pfeil­klas­se, Be­we­gung
Vek­to­ren
zwei­di­men­sio­nal, drei­di­men­sio­nal
  • Ge­gen­vek­tor
  • Null­vek­tor

Ko­or­di­na­ten­sys­tem im \({{\Bbb R}^3}\)

Stan­dard­dar­stel­lung
\({x_1}\)-Achse 135°, Verkürzungsfaktor \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Ko­or­di­na­ten­ebe­nen

Punk­te und Vek­to­ren
Fi­gu­ren, Kör­per
  • Orts­vek­tor
  • Ver­bin­dungs­vek­tor zwei­er Punk­te

Be­son­de­re La­ge von Punk­ten

Senk­rech­te Pro­jek­ti­on von Punk­ten auf Ko­or­di­na­ten­ebe­nen

Spie­ge­lung von Punk­ten an Ko­or­di­na­ten­ebe­nen

BPE 7.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ver­wen­den ele­men­ta­re Re­chen­ope­ra­tio­nen für Vek­to­ren und deu­ten sie geo­me­trisch. Sie be­rech­nen den Be­trag ei­nes Vek­tors und in­ter­pre­tie­ren ihn als Län­ge und ver­wen­den Vek­to­ren zur Be­stim­mung von Teil­punk­ten ei­ner Stre­cke.
Re­chen­ope­ra­tio­nen mit Vek­to­ren

  • Ad­di­ti­on von Vek­to­ren
z. B. Kräf­tead­di­ti­on, We­ge, Preis­vek­tor
  • Mul­ti­pli­ka­ti­on mit ei­nem Ska­lar
Kol­li­nea­ri­tät, Par­al­le­li­tät
Be­trag ei­nes Vek­tors
Ein­heits­vek­tor
  • Ab­stand zwei­er Punk­te
  • Län­ge ei­ner Stre­cke

Tei­lung von Stre­cken
Mit­tel­punkt, P teilt die Stre­cke AB im Ver­hält­nis 2:3

BPE 7.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern die Be­deu­tung des Skalar­pro­dukts in der Geo­me­trie. Da­mit be­stim­men sie Win­kel zwi­schen zwei Vek­to­ren und un­ter­su­chen geo­me­tri­sche Ob­jek­te in Ebe­ne und Raum.
Skalar­pro­dukt
z. B. phy­si­ka­li­sche Ar­beit,
Bestellvektor \( \cdot \) Preisvektor = Rechnungsbetrag
Or­tho­go­na­li­tät von Vek­to­ren
Win­kel zwi­schen zwei Vek­to­ren

An­wen­dung bei Fi­gu­ren
z. B. Nach­weis Recht­eck, gleich­schenk­li­ges Drei­eck; Er­gän­zung zur Rau­te, Be­rech­nung von In­nen­win­keln und ein­fa­chen Flä­chen
  • Drei­eck

  • Vier­ecke
Recht­eck, Qua­drat, Par­al­le­lo­gramm, Rau­te, Tra­pez, Dra­chen

Jahr­gangs­stu­fen 1 und 2

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

72

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
ei­ne sta­tis­ti­sche Er­he­bung pla­nen, durch­füh­ren und aus­wer­ten
au­ßer­schu­li­sche Lern­or­te auf­su­chen, z. B. Hoch­schu­len oder Sci­ence Cen­ter
Ma­the­ma­tik in der Le­bens­welt der Schü­le­rin­nen und Schü­ler: Ma­the­ma­tik und Sport, Ma­the­ma­tik und Kunst, Ma­the­ma­tik und Mu­sik usw.
Er­stel­len von ma­the­ma­ti­schen Stadt­ral­leys
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung Fä­cher ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 8

Pro­blem­lö­sen

10
Bei der Be­hand­lung neu­er und un­be­kann­ter Fra­ge­stel­lun­gen ler­nen Schü­le­rin­nen und Schü­ler Pro­blem­lö­se­stra­te­gi­en ken­nen und wen­den die­se an. Dies er­folgt in­te­gra­tiv, über al­le in­halt­li­chen The­men­be­rei­che (Bil­dungs­plan­ein­hei­ten) hin­weg, so­dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler suk­zes­si­ve mit den Me­tho­den ma­the­ma­ti­schen Pro­blem­lö­sens ver­traut wer­den. Da­zu wer­den Lern­ge­le­gen­hei­ten mit of­fe­nen Auf­ga­ben (Pro­blem­auf­ga­ben) ge­schaf­fen, in de­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ei­gen­stän­dig ei­nen Lö­sungs­plan ent­wi­ckeln und um­set­zen. Sie ver­wen­den da­bei un­ter­schied­li­che Hilfs­mit­tel und Pro­blem­lö­se­stra­te­gi­en. Sie re­flek­tie­ren und dis­ku­tie­ren ihr Vor­ge­hen und do­ku­men­tie­ren ih­re Ge­dan­ken. Da­durch er­hal­ten sie ei­nen Ein­blick in das We­sen der Ma­the­ma­tik.

BPE 8.1

Die Schüle­rin­nen und Schüler nut­zen ein Pro­blem­lö­se­sche­ma [Ge­rüst], um den Pro­blem­lö­se­pro­zess zu pla­nen und durch­zu­füh­ren. Sie in­ter­pre­tie­ren Pro­ble­me und lö­sen sie plan­voll und sys­te­ma­tisch. Sie wäh­len ei­gen­stän­dig ge­eig­ne­te Stra­te­gi­en zur Pro­blem­lösung aus und wen­den die­se an. Sie re­flek­tie­ren Lösungs­we­ge und Lö­sun­gen.
Ana­ly­se und Ver­ste­hen des Pro­blems
z. B. in ei­ge­nen Wor­ten be­schrei­ben, In­for­ma­tio­nen ent­neh­men, Ge­ge­be­nes und Ge­such­tes iden­ti­fi­zie­ren, Dar­stel­lun­gen ver­wen­den (u.a. Skiz­zen, Ta­bel­len nut­zen), Fra­gen oder Ver­mu­tun­gen auf­stel­len
Aus­wahl und An­wen­dung von Stra­te­gi­en
z. B. Bei­spie­le ge­ne­rie­ren, sys­te­ma­tisch pro­bie­ren, Struk­tu­ren und Mus­ter be­schrei­ben, zer­le­gen und er­gän­zen, Ana­lo­gi­en nut­zen, auf Be­kann­tes zu­rück­füh­ren, vor­wärts und rück­wärts ar­bei­ten, Son­der­fäl­le ana­ly­sie­ren, ma­the­ma­ti­sche Werk­zeu­ge nut­zen
Über­prü­fung und Ana­ly­se von Lö­sung und Lö­sungs­weg
z. B. die ei­ge­ne Lö­sung re­flek­tie­ren, Feh­ler ana­ly­sie­ren und kon­struk­tiv nut­zen, ver­schie­de­ne Lö­sungs­we­ge ver­glei­chen, ver­all­ge­mei­nern und wei­ter­füh­ren­de Fra­gen for­mu­lie­ren


BPE 9

Mo­del­lie­ren

10
Vie­le As­pek­te rea­ler Vor­gän­ge kön­nen durch ei­ne Ma­the­ma­ti­sie­rung be­schrie­ben und un­ter­sucht wer­den. Beim Be­ar­bei­ten rea­li­täts­be­zo­ge­ner Pro­ble­me (Mo­del­lie­ren) wen­den Schü­le­rin­nen und Schü­ler Vor­ge­hens­wei­sen des Pro­blem­lö­sens an (s. BPE 8.1) und ler­nen zu­sätz­lich die Be­son­der­hei­ten, die sich durch den Rea­li­täts­be­zug er­ge­ben: Ma­the­ma­ti­sche Mo­del­le be­schrei­ben ver­ein­fa­chen­de Aus­schnit­te der Rea­li­tät, Grö­ßen kön­nen nur nä­he­rungs­wei­se be­kannt sein und Er­geb­nis­se ha­ben ei­ne be­grenz­te Gül­tig­keit und Reich­wei­te. Beim Mo­del­lie­ren er­ken­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ma­the­ma­ti­sche Struk­tu­ren in der Welt und er­le­ben Ma­the­ma­tik als ei­ne Spra­che, um die­se zu be­schrei­ben. Die Idee des Mo­del­lie­rens wird bei ver­schie­de­nen Bil­dungs­plan­ein­hei­ten im­mer wie­der auf­ge­grif­fen.

BPE 9.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen die ein­zel­nen Pha­sen des Mo­del­lie­rungs­kreis­laufs beim ma­the­ma­ti­schen Un­ter­su­chen von Sach­zu­sam­men­hän­gen. Sie er­fas­sen ei­nen Sach­zu­sam­men­hang, be­grün­den die Wahl ei­nes ma­the­ma­ti­schen Mo­dells, ver­wen­den das Mo­dell und den Lö­sungs­an­satz und in­ter­pre­tie­ren ih­re Er­geb­nis­se im Kon­text der An­wen­dung. Die Qua­li­tät der Pro­blem­lö­sung re­flek­tie­ren sie mit Blick auf die Gü­te des Mo­dells.
Ana­ly­se und Ver­ste­hen ei­nes Sach­zu­sam­men­hangs (von der Re­al­si­tua­ti­on zum rea­len Mo­dell)
z. B. in ei­ge­nen Wor­ten be­schrei­ben, In­for­ma­tio­nen ent­neh­men oder be­schaf­fen, Ge­ge­be­nes und Ge­such­tes iden­ti­fi­zie­ren, Un­be­kann­tes schät­zen oder über­schla­gen, Si­tua­ti­on ver­ein­fa­chen, Fra­gen oder Ver­mu­tun­gen auf­stel­len
Aus­wahl und An­wen­den ei­nes ma­the­ma­ti­schen Mo­dells, auch Re­gres­si­on mit di­gi­ta­len Werk­zeu­gen (vom rea­len Mo­dell zum ma­the­ma­ti­schen Mo­dell, inn­er­ma­the­ma­ti­sche Lö­sung)
z. B. re­le­van­te Größen (u. a. Ge­ge­be­nes und Ge­such­tes) und ih­re Be­zie­hun­gen iden­ti­fi­zie­ren, Mo­del­le aus (ana­ly­ti­scher) Geo­me­trie, Sto­chas­tik, Al­ge­bra oder Ana­ly­sis aus­wäh­len, Pas­sung und Ge­nau­ig­keit ei­nes Mo­dells be­ur­tei­len, ma­the­ma­ti­sche Werk­zeu­ge und Hilfs­mit­tel nut­zen, bei ma­the­ma­ti­schen Lö­sungs­schrit­ten Stra­te­gi­en an­wen­den, vgl. BPE 8.1
In­ter­pre­ta­ti­on, Über­prü­fung und Ana­ly­se von Lö­sungs­an­satz (Mo­dell), Lö­sungs­weg und Er­geb­nis
z. B. die ei­ge­nen Lö­sun­gen im Sach­zu­sam­men­hang in­ter­pre­tie­ren und va­li­die­ren, Feh­ler ana­ly­sie­ren und kon­struk­tiv nut­zen, Gül­tig­keit und Reich­wei­te des Mo­dells und der Er­geb­nis­se be­wer­ten, Über­le­gun­gen zur Ver­bes­se­rung der Mo­del­lie­rung an­stel­len

BPE 10

Tri­go­no­me­tri­sche Funk­tio­nen und zu­ge­hö­ri­ge Glei­chun­gen

15
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler de­fi­nie­ren den Si­nus und den Ko­si­nus ei­nes Win­kels am Ein­heits­kreis und er­wei­tern da­mit ih­re Kennt­nis­se der Tri­go­no­me­trie. Sie ent­de­cken die tri­go­no­me­tri­schen Funk­tio­nen zur Ma­the­ma­ti­sie­rung pe­ri­odi­scher Vor­gän­ge und ler­nen die Ei­gen­schaf­ten der all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on ken­nen. Dar­über hin­aus über­tra­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­kann­te Lö­sungsstra­te­gi­en auf tri­go­no­me­tri­sche Glei­chun­gen.

BPE 10.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen das Grad­maß und das Bo­gen­maß von Win­keln und be­stim­men nä­he­rungs­wei­se den Si­nus und den Ko­si­nus ei­nes Win­kels als Ko­or­di­na­ten ei­nes Punk­tes auf dem Ein­heits­kreis. Mit­hil­fe des Ein­heits­krei­ses skiz­zie­ren die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Si­nus­kur­ve und die Ko­si­nus­kur­ve und be­grün­den de­ren Ei­gen­schaf­ten.
Grad­maß und Bo­gen­maß ei­nes Win­kels
Si­nus und Ko­si­nus ei­nes Win­kels am Ein­heits­kreis
Be­grün­dung der Ein­füh­rung des Bo­gen­ma­ßes
Si­nus­funk­ti­on
\(f(x) = \sin (x)\)
Ko­si­nus­funk­ti­on
\(f(x) = \cos (x) \)
Ei­gen­schaf­ten

  • De­fi­ni­ti­ons­be­reich
  • Wer­te­be­reich
  • Am­pli­tu­de
  • Pe­ri­ode
  • Sym­me­trie

BPE 10.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben an­hand von Funk­ti­ons­ter­men oder Funk­ti­ons­gra­phen, wie der Graph ei­ner all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on mit­tels Trans­for­ma­tio­nen – un­ter Be­rück­sich­ti­gung der Rei­hen­fol­ge – aus ei­ner Grund­funk­ti­on ent­steht. Sie ge­ben zu ei­ner ver­bal oder gra­fisch ge­ge­be­nen Trans­for­ma­ti­on den zu­ge­hö­ri­gen Funk­ti­ons­term an.
Trans­for­ma­tio­nen
\(f(x) = a \cdot \sin (b \cdot x) + d\)
\(f(x) = a \cdot \cos (x - c) + d\)
z. B. Ent­ste­hung des Gra­phen von \(g\) mit
\(g(x) = \sin (2x) + 1\) aus dem Gra­phen von \(f\) mit \(f(x) = \sin (x) \)
  • Spie­ge­lung an der y-Ach­se
  • Spie­ge­lung an der x-Ach­se
  • Stre­ckung in y-Rich­tung
  • Stre­ckung in x-Rich­tung
  • Ver­schie­bung in y-Rich­tung
  • Ver­schie­bung in x-Rich­tung

  • Kom­bi­na­ti­on und Rei­hen­fol­ge der Trans­for­ma­tio­nen
\(f(x) = 4 \cdot \sin (3 x) - 1\)
\(f(x) = - \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 0,5\)

BPE 10.3.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln die Ei­gen­schaf­ten ei­ner all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on aus­ge­hend von ei­nem Funk­ti­ons­term. In ein­fa­chen Fäl­len skiz­zie­ren sie den Funk­ti­ons­graph oder zeich­nen ihn mit­hil­fe ei­ner Wer­te­ta­bel­le.
Ei­gen­schaf­ten der Funk­ti­on

  • Wer­te­be­reich
  • Am­pli­tu­de
  • Pe­ri­ode

Funk­ti­ons­graph
z. B.
\(f(x) = 2 \cdot \sin (\pi x) + 1\)
\(f(x) = - \cos (x) - 2\)
\(f(x) = \cos (2x) \)

BPE 10.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men aus gra­fisch, ta­bel­la­risch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten den Funk­ti­ons­term ei­ner all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on.
Auf­stel­len von Funk­ti­ons­ter­men aus

  • Funk­ti­ons­graph
  • Text
  • Wer­te­ta­bel­le
z. B.
\(f(x) = 2 \cdot \sin (\pi x) + 1\)
\(f(x) = - \cos (0,5 x) - 2\)

BPE 10.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men die Lö­sung tri­go­no­me­tri­scher Glei­chun­gen und er­läu­tern, wie sie al­le Lö­sun­gen im De­fi­ni­ti­ons­be­reich fin­den. Sie deu­ten die be­rech­ne­ten Lö­sun­gen gra­fisch als Null­stel­len ei­ner Funk­ti­on be­zie­hungs­wei­se als Schnitt­stel­len von zwei Funk­tio­nen.

Lö­sen von Glei­chun­gen
z. B.
\(0 = 2 \cdot \sin (x) + 1\)
\(0 = - \cos (x) - 2\)
\(0 = \cos (2x) \)
  • Um­keh­rung der Re­chen­ope­ra­tio­nen
Ver­wen­dung der Be­grif­fe Ar­kus­si­nus und Ar­kus­ko­si­nus
  • Sym­me­trie
  • Pe­ri­ode
  • Sub­sti­tu­ti­on

  • Nu­me­ri­sche Lö­sung
Wer­te­ta­bel­le

BPE 10.6

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben pe­ri­odi­sche Vor­gän­ge mit tri­go­no­me­tri­schen Funk­tio­nen und deu­ten die Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten im An­wen­dungs­kon­text. Sie ver­wen­den Glei­chun­gen zur Un­ter­su­chung rea­lis­ti­scher Pro­ble­me und in­ter­pre­tie­ren die Lö­sun­gen.
Pe­ri­odi­sche Vor­gän­ge
z. B. Ge­zei­ten, Tem­pe­ra­tur­ver­lauf, Rie­sen­rad, akus­ti­sche Schwin­gun­gen, Wech­sel­span­nung, Bio­rhyth­mus

BPE 11

Ver­knüp­fung von Funk­tio­nen

5
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ver­knüp­fen bis­her be­kann­te Funk­tio­nen mit­tels Ad­di­ti­on und Mul­ti­pli­ka­ti­on und er­wei­tern da­mit so­wohl ih­re Vor­stel­lung von Re­chen­ope­ra­tio­nen als auch ihr Re­per­toire an Funk­tio­nen. Sie wie­der­ho­len die Ei­gen­schaf­ten der be­kann­ten Funk­tio­nen und über­tra­gen ih­re Stra­te­gi­en zur Funk­ti­ons­un­ter­su­chung, um ex­em­pla­risch die Ei­gen­schaf­ten von Sum­men- be­zie­hungs­wei­se Pro­dukt­funk­tio­nen zu er­mit­teln. Au­ßer­dem ler­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Ver­ket­tung mit li­nea­ren in­ne­ren Funk­tio­nen ken­nen.

BPE 11.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men Funk­ti­ons­ter­me durch Ver­knüp­fung aus be­reits be­kann­ten Funk­ti­ons­ty­pen. Sie un­ter­su­chen aus­ge­hend von ih­ren Kennt­nis­sen über be­reits be­kann­te Funk­ti­ons­ty­pen Ei­gen­schaf­ten der durch die Ver­knüp­fung ent­stan­de­nen Funk­tio­nen.
Sum­me von Funk­tio­nen
z. B.
\(f(x) = 2{e^x} - x + 1\)
\(f(x) = \sin (x) + 0,5x\)
Or­di­na­ten­ad­di­ti­on

Pro­dukt von Funk­tio­nen
z. B.
\(f(x) = {e^x} \cdot {(x - 2)^2}\)
\(f(x) = \cos (x) \cdot x\)
Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten

  • Ge­mein­sa­me Punk­te mit den Ko­or­di­na­te­nach­sen
  • Sym­me­trie
  • Asym­pto­te

BPE 11.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler iden­ti­fi­zie­ren bei ei­ner ver­ket­te­ten Funk­ti­on die äu­ße­re und die li­nea­re in­ne­re Funk­ti­on.
Ver­ket­tung von Funk­tio­nen
z. B.
Äu­ße­re Funk­ti­on
\(f(x) = {\left( {2x + 1} \right)^4}\); \(f(x) = \sqrt {1 - x}\)
Li­nea­re in­ne­re Funk­ti­on
\(f(x) = {e^{{2x}}}\); \(f(x) = 3 \cdot \sin \left( {x + 2} \right) \)

BPE 12

Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung

30
Die Bil­dungs­plan­ein­heit Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung nimmt ih­ren Aus­gang von den in der Ein­gangs­klas­se er­wor­be­nen Vor­stel­lungen zum Ab­lei­tungs­be­griff und hat zum Ziel, den Schü­le­rin­nen und Schü­lern ein tie­fe­res Ver­ständ­nis von Funk­tio­nen zu er­öff­nen. Ba­sie­rend auf ei­nem pro­pä­deu­ti­schen Grenz­wert­be­griff er­le­ben sie durch Grenz­wert­be­trach­tun­gen, dass die Fra­ge nach der Stei­gung ei­ner ge­krümm­ten Kur­ve auf die Fra­ge nach der Stei­gung ei­ner Ge­ra­den zu­rück­ge­führt wer­den kann. Ne­ben der Grund­vor­stel­lung der Tan­gen­ten­stei­gung bil­den die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Grund­vor­stel­lungen lo­ka­le Än­de­rungs­ra­te und lo­ka­le Li­nea­ri­tät aus und set­zen die­se drei Grund­vor­stel­lun­gen zu­ein­an­der in Be­zie­hung. An­hand von viel­fäl­ti­gen inn­er­ma­the­ma­ti­schen Fra­ge­stel­lun­gen und An­wen­dungs­be­zü­gen ge­win­nen sie ei­nen ers­ten Ein­druck von der Trag­wei­te der Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung.

BPE 12.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten mit­hil­fe ei­nes pro­pä­deu­ti­schen Grenz­wert­be­griffs den Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­en­ten an ei­ner Stel­le als Grenz­wert des Dif­fe­ren­zen­quo­ti­en­ten. Sie be­schrei­ben Gra­phen von Funk­tio­nen, die nicht durch­gän­gig dif­fe­ren­zier­bar sind.
Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent
Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­ent, Ab­lei­tung
Schreib­wei­sen:
\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}};\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{dy}}{{dx}} = f'({x_0})\)

An­schau­li­che Dif­fe­ren­zier­bar­keit
„Knick­frei­heit“

BPE 12.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men aus­ge­hend vom gra­fi­schen Dif­fe­ren­zie­ren Ab­lei­tun­gen für aus­ge­wähl­te Funk­tio­nen. Sie nen­nen die Be­deu­tung der Eu­ler­schen Zahl \( e \) als be­son­de­re Ba­sis bei Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen zur Be­rech­nung ih­rer Ab­lei­tung. Au­ßer­dem be­schrei­ben sie den Zu­sam­men­hang von tri­go­no­me­tri­schen Funk­tio­nen mit ih­ren Ab­lei­tungs­funk­tio­nen.
Ab­lei­tung von

  • Po­tenz­funk­tio­nen
auch für nicht na­tür­li­che Ex­po­nen­ten
  • \({e^x}\)
  • \(\sin (x),\,\cos (x) \)

BPE 12.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den die Ab­lei­tungs­re­geln für zu­sam­men­ge­setz­te Funk­tio­nen an und nut­zen Kom­bi­na­tio­nen die­ser Re­geln in ein­fa­chen Fäl­len.
All­ge­mei­ne Ab­lei­tungs­re­geln

  • Fak­tor­re­gel

  • Sum­men­re­gel

  • Pro­dukt­re­gel

  • Ket­ten­re­gel für li­nea­re in­ne­re Funk­tio­nen
z. B. \(f(x) = {e^{2x}}\)
\(f(x) = \sin \left( {\frac{1}{3}x} \right) \)
\(f(x) = {(3x + 1)^4}\)
Be­grün­dung mit Stre­ckung in x-Rich­tung
  • Kom­bi­na­tio­nen der Ab­lei­tungs­re­geln
z. B. \(f(x) = \sqrt x + \sin (\pi x) \)
\(f(x) = {e^{0,5 \cdot x}} \cdot \cos (x + 1) \)
\(f(x) = a \cdot {e^{kx}}\) mit \(a,k \in {\Bbb R}\)

BPE 12.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler skiz­zie­ren den Graph ei­ner Funk­ti­on aus der Kennt­nis des Graphs der Ab­lei­tungs­funk­ti­on und er­läu­tern den Zu­sam­men­hang bei­der Gra­phen. Sie be­grün­den die Nich­t-Ein­deu­tig­keit der Stamm­funk­ti­on. Dar­über hin­aus be­stim­men sie Stamm­funk­tio­nen von Grund­funk­tio­nen, de­ren Li­ne­ar­kom­bi­na­ti­on und de­ren li­nea­re Ver­ket­tung und wen­den Ab­lei­tungs­re­geln zur Über­prü­fung an.
Stamm­funk­tio­nen \(F(x) + c\)
z. B. Stamm­funk­ti­on \(F\) zu
\(f(x) = 2{x^3} - 2{x^2}\)
\(f(x) = {x^{0,5}}\)
\(f(x) = 2{x^{ - 3}}\)
\(f(x) = {(3x - 1)^4}\)
\(f(x) = {e^{ - 2x + 1}}\)
\(f(x) = \sin (x + 1) + 0,5x\)
  • gra­fisch
  • for­mal

BPE 12.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men ei­ne Glei­chung der Tan­gen­te in ei­nem ge­ge­be­nen Punkt ei­nes Funk­ti­ons­gra­phen. Sie prü­fen, ob ei­ne ge­ge­be­ne Ge­ra­de Tan­gen­te an ei­nem Funk­ti­ons­gra­phen ist.
Tan­gen­te in ei­nem Kur­ven­punkt
\(t\): \(y=f'(u)(x - u) + f(u) \) bei ge­ge­be­ner Funk­ti­on \(f\) und Stel­le \(u\)

BPE 12.6

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen mit­tels ers­ter und zwei­ter Ab­lei­tung das lo­ka­le Ver­hal­ten ei­ner Funk­ti­on. Mit­hil­fe not­wen­di­ger und hin­rei­chen­der Kri­te­ri­en er­mit­teln sie lo­ka­le Ex­trem- und Wen­de­punk­te und nut­zen die­se, um Funk­ti­ons­gra­phen zu zeich­nen. Dar­über hin­aus be­schrei­ben die Schü­le­rin­nen und Schü­ler Zu­sam­men­hän­ge der Gra­phen von f, f' und f'' und in­ter­pre­tie­ren Wen­de­punk­te auch als Punk­te mit größ­ter bzw. kleins­ter Stei­gung.
Lo­kal

  • Ex­trem­punk­te

  • Wen­de­punk­te mit Krüm­mungs­ver­hal­ten

  • not­wen­di­ge Be­din­gun­gen

  • hin­rei­chen­de Be­din­gun­gen
z. B. Vor­zei­chen­wech­sel von \(f'(x) \) an der Stel­le \({x_0}\) oder \(f''({x_0}) \ne 0\)
Funk­ti­ons­graph

Zu­sam­men­hang zwi­schen den Gra­phen von \(f - f' - f''\)

BPE 12.7

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen Funk­tio­nen auf stren­ge Mo­no­to­nie und be­stim­men ih­re Wer­te­men­ge an­hand von Gra­phen, Funk­ti­ons­ter­men und Wer­te­ta­bel­len.
Glo­bal

  • Glo­ba­le Ex­tre­ma

  • Wer­te­men­ge

  • stren­ge Mo­no­to­nie
streng mo­no­ton wach­send:
\({x_1} <{x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Zu­sam­men­hang zur Ab­lei­tung:
\(f'(x) > 0 \Rightarrow f\) ist streng monoton wachsend
\(f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow f\) ist monoton wachsend

BPE 12.8

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in­ter­pre­tie­ren Än­de­rungs­ra­ten und Krüm­mungs­ver­hal­ten so­wie Ach­sen­schnitt­punk­te, Ex­trem­punk­te und Wen­de­punk­te von Funk­ti­ons­gra­phen im Sach­zu­sam­men­hang.
Sach­zu­sam­men­hang
z. B. Tem­pe­ra­tur­än­de­rung, Be­we­gungs­vor­gän­ge, Pro­duk­ti­ons­pro­zes­se, Kon­zen­tra­ti­ons­än­de­rung

BPE 13

In­te­gral­rech­nung

20
Die Bil­dungs­plan­ein­heit In­te­gral­rech­nung knüpft an die von den Schü­le­rin­nen und Schü­lern be­reits er­wor­be­nen Kennt­nis­se der Dif­fe­ren­zi­al­rech­nung an und legt den Zu­sam­men­hang zwi­schen die­sen grund­le­gen­den Teil­ge­bie­ten der Ana­ly­sis dar. Sie ver­mit­telt drei As­pek­te des In­te­gral­be­griffs, das In­te­gral als Re­kon­struk­ti­on ei­ner Grö­ße, das In­te­gral als Grenz­wert ei­ner Sum­me so­wie das In­te­gral als Flä­chen­in­halt und be­zieht die­se wech­sel­sei­tig auf­ein­an­der. Aus­ge­hend von der An­nä­he­rung krumm­li­nig be­grenz­ter Flä­chen wird mit­hil­fe ei­ner pro­pä­deu­ti­schen Grenz­wert­be­trach­tung ein neu­er Weg zur Be­rech­nung von Flä­chenin­hal­ten ent­wi­ckelt. Sie greift ins­be­son­de­re die in der Se­kun­dar­stu­fe I ver­wen­de­ten Stra­te­gi­en zur Be­stim­mung von Flä­chenin­hal­ten auf, z. B. die Zer­le­gung in Teil­flä­chen.

BPE 13.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten das be­stimm­te In­te­gral als re­kon­stru­ier­ten Be­stand so­wie als Flä­chen­in­halt zwi­schen Funk­ti­ons­graph und x-Ach­se. Sie er­mit­teln den Wert be­stimm­ter In­te­gra­le mit­tels Flä­chen­zer­le­gung nä­he­rungs­wei­se und in­ter­pre­tie­ren die­sen als Bi­lanz ori­en­tier­ter Flä­chen­in­hal­te. Eben­so nut­zen sie die Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals.
Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals

  • Be­stands­re­kon­struk­ti­on
z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit
  • Flä­che
ge­krümm­te Rand­funk­ti­on
Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len
z. B. Käst­chen­zäh­len
Ober- und Un­ter­sum­me
Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt
z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge
Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals
In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals,
In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu \(x = 0\) sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen

BPE 13.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen den Haupt­satz der Dif­fe­ren­zi­al- und In­te­gral­rech­nung zur Be­rech­nung von be­stimm­ten In­te­gra­len und zur Be­rech­nung von In­te­gra­ti­ons­gren­zen bei ge­ge­be­nem In­te­gral­wert.
Haupt­satz der Dif­fe­ren­zi­al- und In­te­gral­rech­nung

Be­rech­nung be­stimm­ter In­te­gra­le
\(\int\limits_a^b {f(x)dx = F(b) - F(a)} \)

BPE 13.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen Flä­chen­in­hal­te, auch in An­wen­dungs­kon­tex­ten.
Flä­chen­in­hal­te

  • zwi­schen Funk­ti­ons­graph und x-Ach­se

  • zwi­schen zwei Funk­ti­ons­gra­phen
auch mehr­tei­lig, auch zu­sam­men­ge­setzt
An­wen­dungs­auf­ga­ben
z. B. Flä­che ei­nes Grund­stücks, zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ge­ge­be­ner Mo­men­t­an­ge­schwin­dig­keit

BPE 14

Auf­stel­len von Funk­ti­ons­ter­men

5
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men Funk­tio­nen aus vor­ge­ge­be­nen Ei­gen­schaf­ten. Sie über­set­zen sprach­li­che For­mu­lie­run­gen in ent­spre­chen­de for­ma­le Be­din­gun­gen oder ent­neh­men be­nö­tig­te In­for­ma­tio­nen aus ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­gra­phen.

BPE 14.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men aus ver­bal, gra­fisch oder ta­bel­la­risch ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten ei­nen zu­ge­hö­ri­gen Funk­ti­ons­term. Sie ent­schei­den sich für ei­nen ge­eig­ne­ten An­satz und er­mit­teln aus den ge­ge­be­nen Ei­gen­schaf­ten pas­sen­de Glei­chun­gen und lö­sen ge­ge­be­nen­falls das ent­ste­hen­de Glei­chungs­sys­tem.
An­satz
z. B.
\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
\(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\)
\(f(x) = a(x - {x_1}){(x - {x_2})^2}\)
\(f(x) = a{e^{kx}} + b\)
\(f(x) = a \cdot \sin (bx) + d\)
For­ma­li­sie­rung der Ei­gen­schaf­ten
z. B.
K hat ei­nen Hoch­punkt in \(H(2|4) \)
\(f(2) = 4\) und \(f'(2) = 0\)
waag­rech­te Asym­pto­te \(y = 4\)
Periode \(4\pi \)
„tan­gen­tia­le Stra­ßen­ver­bin­dung“
steils­te Stel­le
Lö­sen des Glei­chungs­sys­tems

BPE 15

Op­ti­mie­ren

10
Durch ei­gen­stän­di­ge Be­ar­bei­tung ver­schie­de­ner Op­ti­mie­rungs­pro­ble­me er­fah­ren die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Wirk­sam­keit ma­the­ma­ti­scher Werk­zeu­ge bzw. Be­grif­fe. Sie üben im­pli­zit be­reits er­wor­be­ne ma­the­ma­ti­sche Fer­tig­kei­ten und ver­net­zen ma­the­ma­ti­sche Be­grif­fe ver­schie­de­ner Wis­sens­ge­bie­te. In der Be­geg­nung mit der grund­le­gen­den ma­the­ma­ti­schen Idee der Op­ti­mie­rung er­wei­tern die Ler­nen­den ih­re Pro­blem­lö­se- und Mo­del­lie­rungs­kom­pe­tenz. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­ken­nen, dass den Op­ti­mie­rungs­pro­ble­men trotz ih­rer Un­ter­schie­de vie­les ge­mein­sam ist und sind so in der La­ge, ei­ne er­ar­bei­te­te Lö­sungs­stra­te­gie auf ver­schie­de­ne Op­ti­mie­rungs­pro­ble­me an­zu­wen­den.

BPE 15.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben auf der Grund­la­ge ih­rer Kennt­nis­se aus der Ele­men­tar­geo­me­trie und der Ana­ly­sis Op­ti­mie­rungs­auf­ga­ben ma­the­ma­tisch und be­stim­men die Lö­sun­gen die­ser mit­hil­fe un­ter­schied­li­cher Lö­sungs­stra­te­gi­en. Sie be­ur­tei­len Lö­sungs­an­sät­ze, in­ter­pre­tie­ren den Gül­tig­keits­be­reich ih­rer ma­the­ma­ti­schen Be­schrei­bung und er­läu­tern das Vor­ge­hen zur Lö­sung von Op­ti­mie­rungs­pro­ble­men in un­ter­schied­li­chen Kon­tex­ten.
In­ner­ma­the­ma­ti­sche Op­ti­mie­rung

  • Op­ti­mie­rung an Funk­ti­ons­gra­phen
z. B. ver­ti­ka­ler Ab­stand Graph-Graph, Flä­chen­in­halt ei­nes Drei­ecks un­ter ei­nem Funk­ti­ons­gra­phen
An­wen­dungs­ori­en­tier­te Op­ti­mie­rung
z. B. Ober­flä­chen­mi­ni­mie­rung ei­ner Do­se, op­ti­ma­le Schach­tel, Ge­winn­ma­xi­mie­rung

BPE 16

Vek­t­o­ri­el­le Geo­me­trie – Ver­tie­fung

20
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­wei­tern ihr Wis­sen zur Dar­stel­lung von Ge­ra­den durch die vek­t­o­ri­el­le Be­schrei­bung mit­hil­fe ei­ner Pa­ra­me­ter­glei­chung. Sie er­ken­nen die Trag­fä­hig­keit die­ser Dar­stel­lung ins­be­son­de­re auch im drei­di­men­sio­na­len Raum und über­tra­gen die­se auf die Be­schrei­bung von Ebe­nen. Bei der Dar­stel­lung von Ge­ra­den und Ebe­nen im drei­di­men­sio­na­len Ko­or­di­na­ten­sys­tem so­wie der Un­ter­su­chung von de­ren La­ge­be­zie­hun­gen wird das räum­li­che Vor­stel­lungs­ver­mö­gen wei­ter ge­schult. Da­mit kön­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me geo­me­trisch in­ter­pre­tie­ren und ih­re Lö­sung deu­ten. Schließ­lich füh­ren sie Flä­chen- und Vo­lu­men­be­rech­nun­gen an Ob­jek­ten im Raum durch und mo­del­lie­ren rea­le Si­tua­tio­nen mit­hil­fe geo­me­tri­scher Ob­jek­te.

BPE 16.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben Ge­ra­den mit­hil­fe von Pa­ra­me­ter­glei­chun­gen und un­ter­su­chen de­ren be­son­de­re La­ge im Ko­or­di­na­ten­sys­tem. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­ur­tei­len, ob ein Punkt auf ei­ner Ge­ra­den liegt. Sie be­rech­nen Spur­punk­te und zeich­nen Ge­ra­den im Ko­or­di­na­ten­sys­tem. Dar­über hin­aus wer­den Schnitt­win­kel zwi­schen Ge­ra­de und Ko­or­di­na­ten­ebe­nen be­rech­net.
Pa­ra­me­ter­glei­chung ei­ner Ge­ra­den
Be­son­de­re La­ge im Ko­or­di­na­ten­sys­tem

Punkt­pro­be
z. B. P(1|2|3), Q(1|2|a)
Spur­punk­te
Ver­an­schau­li­chung im Ko­or­di­na­ten­sys­tem

Schnitt­win­kel zwi­schen Ge­ra­de und Ko­or­di­na­ten­ebe­ne
z. B. mit­hil­fe ei­nes auf der Ko­or­di­na­ten­ebe­ne senk­rech­ten Vek­tors oder mit­tels or­tho­go­na­ler Pro­jek­ti­on

BPE 16.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen die ge­gen­sei­ti­ge La­ge von Ge­ra­den und be­rech­nen Ko­or­di­na­ten von Schnitt­punk­ten und Schnitt­win­kel. Sie ge­ben Glei­chun­gen von Ge­ra­den an, die ge­ge­be­ne La­ge­be­zie­hun­gen er­fül­len.
La­ge­be­zie­hun­gen von Ge­ra­den

  • iden­tisch

  • par­al­lel
z. B. Par­al­le­li­tät von \(g\) und \(h\) mit
\(g:\vec x = \left( {\matrix{
1 \cr
2 \cr
3 \cr

} } \right) + t \cdot \left( {\matrix{
1 \cr
2 \cr
a \cr

} } \right);\,h:\vec x = s \cdot \left( {\matrix{
3 \cr
6 \cr
8 \cr

} } \right) \)
  • wind­schief
  • schnei­den sich in ei­nem Punkt
Lös­bar­keit über­be­stimm­ter li­nea­rer Glei­chungs­sys­te­me
Schnitt­win­kel zwi­schen zwei Ge­ra­den

BPE 16.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nut­zen zur Be­schrei­bung ei­ner Ebe­ne die Pa­ra­me­ter­form. Sie er­mit­teln Ebe­nen­glei­chun­gen aus Punk­ten und Ge­ra­den und un­ter­su­chen die be­son­de­re La­ge von Ebe­nen im Ko­or­di­na­ten­sys­tem. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­ur­tei­len, ob ein Punkt auf ei­ner Ebe­ne liegt. Sie er­mit­teln Ko­or­di­na­ten von Spur­punk­ten so­wie Glei­chun­gen von Spur­ge­ra­den und stel­len Ebe­nen im Ko­or­di­na­ten­sys­tem dar.
Dar­stel­lung von Ebe­nen

  • Pa­ra­me­ter­form

Auf­stel­lung von Ebe­nen­glei­chun­gen

  • drei Punk­te
  • Punkt und Ge­ra­de
  • zwei Ge­ra­den

Be­son­de­re La­ge im Ko­or­di­na­ten­sys­tem
Punkt­pro­be
Spur­punk­te und Spur­ge­ra­den
Ver­an­schau­li­chung im Ko­or­di­na­ten­sys­tem

BPE 16.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men Ab­stän­de und be­rech­nen Vo­lu­men von ele­men­ta­ren geo­me­tri­schen Ob­jek­ten im Raum.
Ab­stand

  • Punkt und Punkt

  • Punkt und Ko­or­di­na­ten­ebe­ne
  • Punkt und Ge­ra­de

Vo­lu­men

  • Qua­der
  • Py­ra­mi­de mit Grund­flä­che in Ko­or­di­na­ten­ebe­ne

BPE 16.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men die Lö­sung geo­me­tri­scher Pro­blem­stel­lun­gen im Sach­zu­sam­men­hang und in­ter­pre­tie­ren die Er­geb­nis­se im Kon­text der An­wen­dung.
Pro­jek­ti­on auf Ko­or­di­na­ten­ebe­ne
z. B. Schat­ten­wurf, La­ser­strahl

BPE 17

Sto­chas­tik

30
In der Sto­chas­tik wer­den In­hal­te der Wahr­schein­lich­keits­rech­nung mit Ele­men­ten der be­ur­tei­len­den Sta­tis­tik ver­zahnt. Ba­sie­rend auf dem in­tui­ti­ven Wahr­schein­lich­keits­be­griff dif­fe­ren­zie­ren die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ihr Ver­ständ­nis von Wahr­schein­lich­keit wei­ter aus, in­dem sie un­ter­schied­li­che Zu­gän­ge zum Be­griff Wahr­schein­lich­keit ken­nen ler­nen. In Zu­falls­ex­pe­ri­men­ten und Si­mu­la­tio­nen er­le­ben die Schü­le­rin­nen und Schü­ler das We­sen des Zu­falls. Sie er­ken­nen, dass Zu­fall mit Mit­teln der Ma­the­ma­tik quan­ti­fi­zier­bar ist. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wer­den für die Be­ur­tei­lung von zu­fäl­li­gen Er­eig­nis­sen sen­si­bi­li­siert, um zu­fäl­li­ge All­tags­si­tua­tio­nen und sta­tis­ti­sche Aus­sa­gen kri­tisch hin­ter­fra­gen und be­wer­ten zu kön­nen.

BPE 17.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler füh­ren Zu­falls­ex­pe­ri­men­te und de­ren Si­mu­la­tio­nen durch und deu­ten da­bei auf­tre­ten­de re­la­ti­ve Häu­fig­kei­ten als Nä­he­rung von Wahr­schein­lich­kei­ten. Rea­le Si­tua­tio­nen be­schrei­ben sie als Zu­falls­ex­pe­ri­men­te und be­ur­tei­len, ob ein Zu­falls­ex­pe­ri­ment ein La­place-Ex­pe­ri­ment ist. Sie nut­zen Wahr­schein­lich­kei­ten zur Vor­her­sa­ge von er­war­te­ten ab­so­lu­ten oder re­la­ti­ven Häu­fig­kei­ten und stel­len Häu­fig­keits- so­wie Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lun­gen ta­bel­la­risch dar.
Zu­falls­ex­pe­ri­men­te

  • ein- und mehr­stu­fi­ge Zu­falls­ex­pe­ri­men­te: Zie­hen mit und oh­ne Zu­rück­le­gen

  • La­place-Ex­pe­ri­men­te
Ab­gren­zung zu Nich­t-La­place-Ex­pe­ri­men­ten
Häu­fig­kei­ten

Si­mu­la­ti­on
em­pi­ri­sches Ge­setz der gro­ßen Zah­len
Wahr­schein­lich­kei­ten
Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung

BPE 17.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern die Be­grif­fe Er­geb­nis und Er­eig­nis im Kon­text von Zu­falls­ex­pe­ri­men­ten. Sie ge­ben die Er­geb­nis­se von Zu­falls­ex­pe­ri­men­ten an und be­schrei­ben Er­eig­nis­se in Wor­ten und stel­len die­se als Men­gen be­zie­hungs­wei­se de­ren Ver­knüp­fung dar.
Er­geb­nis
Er­eig­nis
Si­che­res Er­eig­nis
Un­mög­li­ches Er­eig­nis
Ge­ge­ner­eig­nis
Ver­knüpf­te Er­eig­nis­se

Men­gen­dar­stel­lung
z. B. Er­geb­nis­men­ge beim ein­ma­li­gen Wür­feln:
\(S = \{ 1,2,3,4,5,6\} \)
Er­eig­nis A: Ei­ne ge­ra­de Zahl wird ge­wür­felt.
\(A = \{ 2;4;6\} \)
Sym­bol­schreib­wei­se von Er­eig­nis­sen und de­ren Ver­knüp­fun­gen
z. B. \(A;\bar A;A \cap \bar B;A \cup B\)

BPE 17.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler stel­len sto­chas­ti­sche Sach­ver­hal­te mit­tels Baum­dia­gram­men und Vier­fel­der­ta­feln dar und in­ter­pre­tie­ren die dar­in ent­hal­te­nen In­for­ma­tio­nen. Sie be­rech­nen die Wahr­schein­lich­kei­ten von Er­geb­nis­sen und Er­eig­nis­sen mit ge­eig­ne­ten Me­tho­den, be­rech­nen be­ding­te Wahr­schein­lich­kei­ten und un­ter­su­chen Er­eig­nis­se auf sto­chas­ti­sche Un­ab­hän­gig­keit.
Baum­dia­gramm

Vier­fel­der­ta­fel
Ven­n-Dia­gramm,
Wech­sel der Dar­stel­lungs­for­men
La­place-For­mel

Nut­zung des Ge­ge­ner­eig­nis­ses
z. B. 3-Mal-Min­des­ten­s-Auf­ga­ben
Pfad­re­geln
Ad­di­ti­ons­satz
Be­ding­te Wahr­schein­lich­kei­ten
Sto­chas­ti­sche Un­ab­hän­gig­keit

BPE 17.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten ei­ne rea­le Si­tua­ti­on als kom­bi­na­to­ri­sche Fra­ge­stel­lung und er­mit­teln die An­zahl von Mög­lich­kei­ten in ein­fa­chen Fäl­len.
Per­mu­ta­ti­on: \(n! \)
z. B. Zu­ord­nung von vier Per­so­nen auf vier Plät­ze
Va­ria­ti­on: \({n^k}\)
z. B. Zah­len­schloss
Kombination: \(\left( {\matrix{n \cr k \cr } } \right) \)
z. B. Lot­to „6 aus 49“
Pas­cal'sches Drei­eck

BPE 17.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­läu­tern die Be­grif­fe Zu­falls­grö­ße und Er­war­tungs­wert. Sie er­mit­teln die Wahr­schein­lich­keits­funk­ti­on ei­ner dis­kre­ten Zu­falls­grö­ße und stel­len die­se als Wer­te­ta­bel­le dar. Sie be­rech­nen wei­ter­hin den Er­war­tungs­wert und deu­ten die­sen im Sach­zu­sam­men­hang.
Dis­kre­te Zu­falls­grö­ße
Wahr­schein­lich­keits­funk­ti­on

Er­war­tungs­wert
fai­res Spiel
Stan­dard­ab­wei­chung, Va­ri­anz

BPE 17.6

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ent­schei­den, ob ein Zu­falls­ex­pe­ri­ment ein Ber­noul­li-Ex­pe­ri­ment be­zie­hungs­wei­se ei­ne Ber­noul­li-Ket­te dar­stellt. Sie ge­ben die Zu­falls­grö­ße und die Pa­ra­me­ter an und er­läu­tern die Be­rech­nung von Wahr­schein­lich­kei­ten mit­tels der For­mel von Ber­noul­li an Bei­spie­len. Sie be­rech­nen Wahr­schein­lich­kei­ten mit die­ser For­mel un­ter Ver­wen­dung der ma­the­ma­ti­schen Sym­bol­spra­che. Dar­über hin­aus er­mit­teln die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ei­ne un­be­kann­te Kenn­grö­ße.
Ber­noul­li-Ex­pe­ri­ment

Ber­noul­li-Ket­te
Bi­no­mi­al­ko­ef­fi­zi­ent
For­mel von Ber­noul­li
ku­mu­lier­te Wahr­schein­lich­keit
Zu­falls­grö­ße X, Pa­ra­me­ter: n, p, k
Ma­the­ma­ti­sche Sym­bol­spra­che
z. B.
\(P(X = 2) = \left( {\matrix{ {10} \cr 2 \cr } } \right) \cdot {p^2} \cdot {(1 - p)^8}\)
\(P(X\) <\(5) = \sum\limits_{i = 0}^4 {P(X = i)} \)
\(P(X \ge 5); P(2\) <\(X \le 10) \)

BPE 17.7

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler stel­len die Wahr­schein­lich­keits­funk­ti­on und die Ver­tei­lungs­funk­ti­on ei­ner bi­no­mi­al­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ße ta­bel­la­risch und gra­fisch dar und er­läu­tern den Ein­fluss der Pa­ra­me­ter n und p. Sie in­ter­pre­tie­ren ta­bel­la­ri­sche oder gra­fi­sche Bi­no­mi­al­ver­tei­lun­gen im An­wen­dungs­kon­text und er­mit­teln aus ent­spre­chen­den Dar­stel­lun­gen Nä­he­rungs­wer­te für Wahr­schein­lich­kei­ten.
Bi­no­mi­al­ver­teil­te Zu­falls­grö­ße
z. B. An­zahl Kopf beim Wer­fen ei­ner Mün­ze, An­zahl feh­ler­haf­ter Werk­stü­cke
Bi­no­mi­al­ver­tei­lung

Wahr­schein­lich­keits­funk­ti­on
His­to­gramm
Ver­tei­lungs­funk­ti­on

BPE 17.8

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln den Er­war­tungs­wert, die Va­ri­anz und die Stan­dard­ab­wei­chung von bi­no­mi­al­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ßen und in­ter­pre­tie­ren den Er­war­tungs­wert im An­wen­dungs­zu­sam­men­hang. Sie er­läu­tern die Be­deu­tung von Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung an­hand der gra­fi­schen Dar­stel­lung von Wahr­schein­lich­keits­funk­tio­nen.
Er­war­tungs­wert
Va­ri­anz
Stan­dard­ab­wei­chung

BPE 18

Li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me

10
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­wei­tern ihr Wis­sen aus der Se­kun­dar­stu­fe I zum Lö­sen von li­nea­ren Glei­chungs­sys­te­men und ler­nen das Gauß-Eli­mi­na­ti­ons­ver­fah­ren als leis­tungs­fä­hi­ge Lö­sungs­me­tho­de ken­nen.

BPE 18.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­stim­men die Lö­sun­gen li­nea­rer Glei­chungs­sys­te­me mit ma­xi­mal drei Un­be­kann­ten, in ein­fa­chen Fäl­len auch mit ei­nem Pa­ra­me­ter. Sie nut­zen ne­ben den be­kann­ten Ver­fah­ren den Gauß-Al­go­rith­mus und in­ter­pre­tie­ren die Lö­sungs­viel­falt.
Gauß-Al­go­rith­mus
Ma­trix­schreib­wei­se
Lö­sungs­viel­falt

  • ein­deu­tig lös­bar
  • un­lös­bar

  • mehr­deu­tig lös­bar

BPE 19

Wahl­ge­bie­te

15
Mit der Be­ar­bei­tung ei­nes oder meh­re­rer Wahl­ge­bie­te er­wei­tern die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ihr Bild der Ma­the­ma­tik und über­tra­gen be­reits er­wor­be­ne Kom­pe­ten­zen auf neue ma­the­ma­ti­sche Kon­tex­te. Sie ler­nen da­bei wei­te­re Ar­beits­wei­sen und Lern­stra­te­gi­en ken­nen, wel­che durch An­wen­dung auf sehr kom­ple­xe Sach­ver­hal­te die ma­the­ma­ti­schen Kom­pe­ten­zen wei­ter ver­tie­fen und da­mit in be­son­de­rer Wei­se auf ein Hoch­schul­stu­di­um vor­be­rei­ten. Zur Ver­tie­fung und Kom­pe­tenz­stei­ge­rung eig­nen sich vor al­lem auch die In­hal­te des Bil­dungs­plans Ma­the +.

BPE 19.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler le­gen we­sent­li­che In­hal­te ei­nes oder meh­re­rer The­men die­ser Bil­dungs­plan­ein­heit dar und wen­den aus die­sem Be­reich ma­the­ma­ti­sche Kon­zep­te an.
Me­tho­den ma­the­ma­ti­schen Ar­bei­tens

  • Ar­gu­men­tie­ren
  • Kom­mu­ni­zie­ren
  • Be­wei­sen

Ver­tie­fung der Dif­fe­ren­zi­al- und In­te­gral­rech­nung

  • Ket­ten­re­gel
  • Quo­ti­en­ten­re­gel
  • Ste­tig­keit und Dif­fe­ren­zier­bar­keit
  • Ro­ta­ti­ons­vo­lu­men
  • Mit­tel­wert
  • un­ei­gent­li­che In­te­gra­le

Ge­schich­te der Ma­the­ma­tik

  • Lö­sen ku­bi­scher Glei­chun­gen
  • Ge­schich­te des Zah­len­sys­tems
  • Eth­no-Ma­the­ma­tik
  • Eu­ler­scher Po­ly­edersatz

Kom­ple­xe Zah­len

  • Rech­nen in der al­ge­brai­schen Form (Ad­di­ti­on, Sub­trak­ti­on, Mul­ti­pli­ka­ti­on, Di­vi­si­on)

  • Lö­sen qua­dra­ti­scher Glei­chun­gen
z. B. \(4{x^2} + 2 = 0,\,{x^2} + x + 1 = 0\)
Wei­te­re The­men
sie­he z. B. Bil­dungs­plan Ma­the +

Ope­ra­to­ren­lis­te

In den Ziel­for­mu­lie­run­gen der Bil­dungs­plan­ein­hei­ten wer­den Ope­ra­to­ren (= hand­lungs­lei­ten­de Ver­ben) ver­wen­det. Die­se Ziel­for­mu­lie­run­gen (Stan­dards) le­gen fest, wel­che An­for­de­run­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in der Re­gel er­fül­len. Zu­sam­men mit der Zu­ord­nung zu ei­nem der drei An­for­de­rungs­be­rei­che (AFB) die­nen Ope­ra­to­ren ei­ner Prä­zi­sie­rung. Dies si­chert das Er­rei­chen des vor­ge­se­he­nen Ni­veaus und die an­ge­mes­se­ne In­ter­pre­ta­ti­on der Stan­dards.

An­for­de­rungs­be­rei­che
An­for­de­rungs­be­reich I um­fasst das Wie­der­ge­ben von Sach­ver­hal­ten im ge­lern­ten Zu­sam­men­hang un­ter rein re­pro­duk­ti­vem Be­nut­zen ein­ge­üb­ter Ar­beits­tech­ni­ken (Re­pro­duk­ti­on).
An­for­de­rungs­be­reich II um­fasst das selbst­stän­di­ge Er­klä­ren, Be­ar­bei­ten und Ord­nen be­kann­ter In­hal­te und das an­ge­mes­se­ne An­wen­den ge­lern­ter In­hal­te und Me­tho­den auf an­de­re Sach­ver­hal­te (Re­or­ga­ni­sa­ti­on und Trans­fer).
An­for­de­rungs­be­reich III um­fasst den re­fle­xi­ven Um­gang mit neu­en Pro­blem­stel­lun­gen, den ein­ge­setz­ten Me­tho­den und ge­won­ne­nen Er­kennt­nis­sen, um zu ei­gen­stän­di­gen Be­grün­dun­gen, Fol­ge­run­gen, Deu­tun­gen und Wer­tun­gen zu ge­lan­gen (Re­fle­xi­on und Pro­blem­lö­sung).
Ope­ra­tor Er­läu­te­rung Zu­ord­nung
AFB
an­ge­ben, nen­nen
für die An­ga­be bzw. Nen­nung ist kei­ne Be­grün­dung not­wen­dig
 I
be­grün­den, nach­wei­sen, zei­gen
Aus­sa­gen oder Sach­ver­hal­te sind durch lo­gi­sches Schlie­ßen zu be­stä­ti­gen. Die Art des Vor­ge­hens kann – so­fern nicht durch ei­nen Zu­satz an­ders an­ge­ge­ben – frei ge­wählt wer­den (z. B. An­wen­den rech­ne­ri­scher oder gra­fi­scher Ver­fah­ren), das Vor­ge­hen ist dar­zu­stel­len
 II, III
be­rech­nen
die Be­rech­nung ist aus­ge­hend von ei­nem An­satz dar­zu­stel­len
 I, II, III
be­schrei­ben
bei ei­ner Be­schrei­bung kommt ei­ner sprach­lich an­ge­mes­se­nen For­mu­lie­rung und ge­ge­be­nen­falls ei­ner kor­rek­ten Ver­wen­dung der Fach­spra­che be­son­de­re Be­deu­tung zu, ei­ne Be­grün­dung für die Be­schrei­bung ist nicht not­wen­dig
II, III
be­stim­men, er­mit­teln
die Art des Vor­ge­hens kann – so­fern nicht durch ei­nen Zu­satz an­ders an­ge­ge­ben – frei ge­wählt wer­den (z. B. An­wen­den rech­ne­ri­scher oder gra­fi­scher Ver­fah­ren), das Vor­ge­hen ist dar­zu­stel­len
 I, II, III
be­ur­tei­len
das zu fäl­len­de Ur­teil ist zu be­grün­den
 II, III
deu­ten, in­ter­pre­tie­ren
die Deu­tung bzw. In­ter­pre­ta­ti­on stellt ei­nen Zu­sam­men­hang her z. B. zwi­schen ei­ner gra­fi­schen Dar­stel­lung, ei­nem Term oder dem Er­geb­nis ei­ner Rech­nung und ei­nem vor­ge­ge­be­nen Sach­zu­sam­men­hang
 II, III
er­läu­tern
die Er­läu­te­rung lie­fert In­for­ma­tio­nen, mit­hil­fe de­rer sich z. B. das Zu­stan­de­kom­men ei­ner gra­fi­schen Dar­stel­lung oder ein ma­the­ma­ti­sches Vor­ge­hen nach­voll­zie­hen las­sen
 II, III
ent­schei­den
für die Ent­schei­dung ist kei­ne Be­grün­dung not­wen­dig
 I, II
gra­fisch dar­stel­len, zeich­nen
die gra­fi­sche Dar­stel­lung bzw. Zeich­nung ist mög­lichst ge­nau an­zu­fer­ti­gen
 I
skiz­zie­ren
die Skiz­ze ist so an­zu­fer­ti­gen, dass sie das im be­trach­te­ten Zu­sam­men­hang We­sent­li­che gra­fisch be­schreibt
 I, II, III
un­ter­su­chen
die Art des Vor­ge­hens kann – so­fern nicht durch ei­nen Zu­satz an­ders an­ge­ge­ben – frei ge­wählt wer­den (z. B. An­wen­den rech­ne­ri­scher oder gra­fi­scher Ver­fah­ren), das Vor­ge­hen ist dar­zu­stel­len
 II, III
vgl. Bil­dungs­stan­dards Ma­the­ma­tik der KMK i. d. F. vom 18.10.2012

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