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Ma­the­ma­tik I

Vor­be­mer­kun­gen

Schul­jahr 1

Ver­tie­fung – In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen – Pro­jekt­un­ter­richt (VIP)

40

Ver­tie­fung

In­di­vi­dua­li­sier­tes Ler­nen

Pro­jekt­un­ter­richt
z. B.
Übun­gen
An­wen­dun­gen
Wie­der­ho­lun­gen
z. B.
Selbst­or­ga­ni­sier­tes Ler­nen
Lern­ver­ein­ba­run­gen
Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung
z. B.
Ma­the­ma­tik in Na­tur­wis­sen­schaft und Tech­nik
Mo­del­lie­rung von Nach­hal­tig­keit
Um­gang mit Da­ten (Er­he­bung, Aus­wer­tung, In­ter­pre­ta­ti­on)
Er­stel­len von Er­klär­vi­de­os
Die The­men­aus­wahl des Pro­jekt­un­ter­richts hat aus den nach­fol­gen­den Bil­dungs­plan­ein­hei­ten un­ter Be­ach­tung fä­cher­ver­bin­den­der As­pek­te zu er­fol­gen.

BPE 1

Ver­tie­fung der Ma­the­ma­tik aus der Se­kun­dar­stu­fe I

12
In der ers­ten Bil­dungs­plan­ein­heit un­ter­su­chen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wei­te­re As­pek­te be­reits be­kann­ter The­men aus der Se­kun­dar­stu­fe I im Hin­blick auf den Be­griff der Funk­ti­on. Sie er­mit­teln da­bei so­wohl in­halt­li­che Ver­tie­fun­gen als auch Ver­knüp­fun­gen der The­men un­ter Be­rück­sich­ti­gung der Ar­beits­wei­se der Se­kun­dar­stu­fe II. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­schlie­ßen da­bei wich­ti­ge Grund­vor­stel­lun­gen zen­tra­ler ma­the­ma­ti­scher Be­grif­fe, ins­be­son­de­re des Funk­ti­ons­be­griffs.

BPE 1.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler cha­rak­te­ri­sie­ren un­ter­schied­li­che Zahl­be­rei­che, ins­be­son­de­re die re­el­len Zah­len. Sie ge­ben Teil­men­gen der re­el­len Zah­len mit­hil­fe von Men­gen­sym­bo­len durch Un­glei­chun­gen so­wie in In­ter­vall­schreib­wei­se an.
Zahlenmengen \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)
ra­tio­na­le bzw. ir­ra­tio­na­le Zah­len, Ab­zähl­bar­keit
Teil­men­gen der re­el­len Zah­len
\(x \in \mathbb{R}_{+}\) bzw. \(x > 0\) bzw. \(x \in ]0;\infty[\)
In­ter­val­le
Ein­füh­rung im Zu­sam­men­hang mit De­fi­ni­ti­ons- bzw. Wer­te­be­rei­chen von Funk­tio­nen

BPE 1.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­schlie­ßen den Funk­ti­ons­be­griff an Bei­spie­len. Sie er­mit­teln, ob ei­ne ge­ge­be­ne Zu­ord­nung ein­deu­tig ist oder nicht. De­fi­ni­ti­ons- bzw. Wer­te­be­rei­che von Funk­tio­nen er­läu­tern sie auch in An­wen­dungs­si­tua­tio­nen.
Zu­ord­nun­gen: ein­deu­ti­g/nicht ein­deu­tig
Strom­stär­ke – elek­tri­sche Leis­tung
Funk­ti­ons­be­griff
ein­deu­ti­ge Zu­ord­nung
De­fi­ni­ti­ons- bzw. Wer­te­be­reich
zeit­lich be­schränk­te/un­be­schränk­te Vor­gän­ge, De­fi­ni­ti­ons­lü­cken

BPE 1.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ver­glei­chen un­ter­schied­li­che Dar­stel­lungs­for­men von Funk­tio­nen (Ta­bel­len, Glei­chun­gen, Schau­bil­der, Tex­te), ge­ben Funk­tio­nen an und stel­len die­se un­ter Ein­satz von Fach­spra­che und Fach­sym­bo­lik dar. Sie un­ter­schei­den un­ab­hän­gi­ge und ab­hän­gi­ge Va­ria­blen.
Dar­stel­lungs­for­men

  • ta­bel­la­risch
Strom­stär­ke – Span­nung
  • al­ge­bra­isch
\(f(x)=2x\), \(g(x)=x^{2}\), \(h(x)=e^{x}\)
  • gra­fisch
Kenn­li­ni­en elek­tri­scher Bau­tei­le, La­dun­g/Ent­la­dung von Kon­den­sa­to­ren, Schau­bil­der zu \(f(x)=2x\), \(g(x)=x^{2}\), \(h(x)=e^{x}\), \(i(x)=\sin(x)\)
Schreib- und Sprech­wei­sen
\(f(2)=4\): Der Punkt P(2|4) liegt auf dem Schau­bild von f.
\(h(x) > 0\) für \(x \in D_{h}\): Das Schau­bild von h ver­läuft ober­halb der x-Ach­se.
\(f(2)=g(2)=4\): Die Schau­bil­der von f und g schnei­den sich im Punkt S(2|4).

BPE 1.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln, wel­che Ge­ra­den sich als Schau­bil­der li­nea­rer Funk­tio­nen dar­stel­len las­sen. Sie be­rech­nen den Stei­gungs­win­kel von Ge­ra­den und deu­ten ihn gra­fisch. Eben­so un­ter­su­chen sie die ge­gen­sei­ti­ge La­ge von Ge­ra­den.
Ge­ra­den als Schau­bil­der li­nea­rer Funk­tio­nen

Be­son­de­re Ge­ra­den

  • Par­al­le­len zu den Ko­or­di­na­te­nach­sen
z. B. \(x=2\), \(y=-5\)
  • ers­te und zwei­te Win­kel­hal­bie­ren­de

Stei­gungs­drei­eck
Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent
Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden, \(m=\tan (\alpha)\)

La­ge­be­zie­hung zwei­er Ge­ra­den
Orthogonalitätsbedingung \(m_{g}\cdot m_{h}=-1\), zugehöriger Beweis

BPE 1.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten Po­ten­zen mit ra­tio­na­len Ex­po­nen­ten als Wur­zel- oder Bruch­aus­drü­cke und ge­ben ver­schie­de­ne Dar­stel­lungs­for­men an. Sie er­läu­tern an Bei­spie­len die Gül­tig­keit der Re­chen­ge­set­ze für das Mul­ti­pli­zie­ren, Di­vi­die­ren und Po­ten­zie­ren von Po­ten­zen und wen­den die­se Re­chen­ge­set­ze an.
Po­ten­zen mit ra­tio­na­len Ex­po­nen­ten
\(a^{0}=1\); \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\); \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\)
Po­tenz­ge­set­ze

BPE 2

Po­tenz­funk­tio­nen

8
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen Po­tenz­funk­tio­nen mit ganz­zah­li­gen Ex­po­nen­ten. Sie er­mit­teln cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten der zu­ge­hö­ri­gen Schau­bil­der und er­klä­ren de­ren Zu­stan­de­kom­men. Be­gin­nend bei qua­dra­ti­schen Funk­tio­nen füh­ren sie li­nea­re Trans­for­ma­tio­nen an den Schau­bil­dern von Po­tenz­funk­tio­nen durch.

BPE 2.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zeich­nen Schau­bil­der von Po­tenz­funk­tio­nen, ins­be­son­de­re mit An­wen­dungs­be­zug. Sie er­mit­teln die Ei­gen­schaf­ten von Po­tenz­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und den zu­ge­hö­ri­gen Schau­bil­dern.
Po­tenz­funk­tio­nen
\(f(x)=x^{r}\) mit \(r \in \mathbb{Z}\)
Schau­bil­der

Ei­gen­schaf­ten

  • De­fi­ni­ti­ons- bzw. Wer­te­be­reich
Strom­stär­ke in Ab­hän­gig­keit ei­nes ohm­schen Wi­der­stands
  • globales Verhalten für \(x\rightarrow\pm\infty\)
Leis­tung von Wind- oder Ge­zei­ten­kraft­wer­ken be­züg­lich der Ge­schwin­dig­keit des En­er­gie­trä­gers
  • Sym­me­trie zum Ur­sprung: \(f( - x)= - f(x)\), Sym­me­trie zur \(y\)-Ach­se: \(f( - x)= f(x)\)

BPE 2.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben, wel­che Aus­wir­kun­gen li­nea­re Trans­for­ma­tio­nen auf Schau­bil­der von Po­tenz­funk­tio­nen ha­ben. Sie er­mit­teln zu­ge­hö­ri­ge Funk­ti­ons­ter­me nach Durch­füh­rung der ver­bal oder gra­fisch ge­ge­be­nen Trans­for­ma­tio­nen.
Funk­tio­nen
\(f(x)=x^{2}\), \(g(x)=x^{3}\)
Trans­for­ma­tio­nen
Nor­mal­pa­ra­bel aus Aus­gangs­bei­spiel
  • Spie­ge­lung an der \(x\)-Ach­se

  • Stre­ckung in \(y\)-Rich­tung
Ska­len­ef­fek­te bei der Ge­win­nung von Wind­ener­gie
  • Ver­schie­bung in \(y\)-Rich­tung

  • Ver­schie­bung in \(x\)-Rich­tung
Ver­än­de­rung der Sym­me­trie­ach­se

BPE 2.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln Lö­sun­gen ein­fa­cher Po­tenz­glei­chun­gen al­ge­bra­isch.
Po­tenz­glei­chun­gen
z. B. \(x^{3} = - 4\), \(6x^{-2}=3\)

BPE 3

Po­ly­nom­funk­tio­nen

15
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen Po­ly­nom­funk­tio­nen und de­ren Schau­bil­der (auch in An­wen­dungs­si­tua­tio­nen). Sie er­mit­teln cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten und zei­gen Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen Funk­ti­ons­ter­men und Schau­bil­dern auf. In ein­fa­chen Fäl­len be­rech­nen sie Lö­sun­gen von Po­ly­nom­glei­chun­gen und über­prü­fen die­se an­hand der Schau­bil­der der zu­ge­hö­ri­gen Funk­tio­nen.

BPE 3.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben Po­ly­nom­funk­tio­nen mit­tels un­ter­schied­li­cher Dar­stel­lungs­for­men. Sie er­mit­teln ge­eig­ne­te Dar­stel­lungs­for­men im ma­the­ma­ti­schen bzw. an­wen­dungs­ori­en­tier­ten Kon­text.
Po­ly­nom­funk­tio­nen n-ten Gra­des

Dar­stel­lungs­for­men

  • Nor­mal­form
z. B. \(f(x) = 2x^{5} - 3x^{3}+1\)
  • Pro­dukt­form
z. B. \(f(x)=3(x - 4)(x - 1)^{3}\)
  • Schei­tel­form der Pa­ra­bel
Wurf­pa­ra­bel

BPE 3.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zeich­nen die Schau­bil­der von Po­ly­nom­funk­tio­nen mit­hil­fe ei­ner Wer­te­ta­bel­le oder un­ter Ver­wen­dung ei­nes di­gi­ta­len Ma­the­ma­tik­werk­zeu­ges. Sie er­mit­teln Ei­gen­schaf­ten von Po­ly­nom­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und skiz­zie­ren de­ren Schau­bil­der.
Schau­bil­der
Zeich­nun­gen, Skiz­zen
Ei­gen­schaf­ten

  • De­fi­ni­ti­ons- bzw. Wer­te­be­reich
Hoch­punk­te, Tief­punk­te, Mi­ni­mum, Ma­xi­mum
  • globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\)
Wachs­tum, Un­be­schränkt­heit
  • Sym­me­trie zum Ur­sprung: \(f( - x) = - f(x)\), Sym­me­trie zur \(y\)-Ach­se: \(f( - x)=f(x)\)
nur un­ge­ra­de bzw. ge­ra­de Hoch­zah­len
  • ge­mein­sa­me Punk­te mit den Ko­or­di­na­te­nach­sen
Be­din­gun­gen \(x=0\) bzw. \(f(x)=0\),
Viel­fach­heit der Null­stel­len

BPE 3.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler stel­len aus gra­fisch, ta­bel­la­risch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten An­sät­ze und Be­din­gun­gen zur Be­stim­mung von Funk­ti­ons­ter­men auf. In ge­eig­ne­ten Fäl­len er­mit­teln sie zu­ge­hö­ri­ge Funk­ti­ons­ter­me.
Auf­stel­len von Funk­ti­ons­ter­men aus

  • Schau­bild
z. B. \(f(x) = ax^{4} + bx^{2} + 1\)
  • Text
z. B. \(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})^{2}\)
  • Wer­te­ta­bel­le
z. B. \(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\)

BPE 3.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln die Lö­sun­gen von Po­ly­nom­glei­chun­gen al­ge­bra­isch und dis­ku­tie­ren mög­li­che Lö­sungs­stra­te­gi­en. Sie in­ter­pre­tie­ren die be­rech­ne­ten Lö­sun­gen als Null­stel­len ei­ner Funk­ti­on bzw. Schnitt­stel­len zwei­er Funk­tio­nen.
Lö­sungs­stra­te­gi­en
auch Ein­satz di­gi­ta­ler Mathe­ma­tik­werk­zeuge
  • Um­keh­rung der Re­chen­ope­ra­tio­nen

  • Fak­to­ri­sie­ren durch Aus­klam­mern und Satz vom Null­pro­dukt

  • Lö­sungs­for­meln für qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen
Lös­bar­keit von Po­ly­nom­glei­chun­gen
  • Sub­sti­tu­ti­on

BPE 4

Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

15
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen und de­ren Schau­bil­der, ins­be­son­de­re im Zu­sam­men­hang mit Wachs­tums- und Zer­falls­pro­zes­sen. Sie er­mit­teln cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten und zei­gen Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen Funk­ti­ons­ter­men und Schau­bil­dern auf. Dar­über hin­aus füh­ren sie li­nea­re Trans­for­ma­tio­nen der Schau­bil­der durch und ge­ben die zu­ge­hö­ri­gen Funk­ti­ons­ter­me an. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten die Eu­ler'sche Zahl als spe­zi­el­le Ba­sis und be­rech­nen die­se nä­he­rungs­wei­se. Sie wen­den den Lo­ga­rith­mus als Um­keh­r­ope­ra­ti­on zur Lö­sung von ein­fa­chen Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen an.

BPE 4.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler cha­rak­te­ri­sie­ren Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen an­hand von Funk­ti­ons­term und Schau­bild. Sie be­rech­nen die Eu­ler'sche Zahl nä­he­rungs­wei­se und deu­ten die­se als spe­zi­el­le Ba­sis.
Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen

  • zur Ba­sis q mit \(q > 0\) und \(q \ne 1\)
\(f(x) = q^{x}\)
  • zur Ba­sis \(e\)
\(f(x) = e^{x}\)
Eu­ler'sche Zahl \(e\)
Ermittlung über \(q^{x} \approx x+1\) bei \(x=0\)

BPE 4.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben, wel­che Aus­wir­kun­gen li­nea­re Trans­for­ma­tio­nen auf Schau­bil­der von Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen ha­ben. Sie er­mit­teln zu­ge­hö­ri­ge Funk­ti­ons­ter­me nach Durch­füh­rung der ver­bal oder gra­fisch ge­ge­be­nen Trans­for­ma­tio­nen.
Trans­for­ma­tio­nen (auch Kom­bi­na­tio­nen da­von)
Ein­satz di­gi­ta­ler Mathe­ma­tik­werk­zeuge
  • Spie­ge­lung an der \(y\)-Ach­se

  • Spie­ge­lung an der \(x\)-Ach­se

  • Stre­ckung in \(y\)-Rich­tung

  • Stre­ckung in \(x\)-Rich­tung

  • Ver­schie­bung in \(y\)-Rich­tung

  • Ver­schie­bung in \(x\)-Rich­tung

BPE 4.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zeich­nen die Schau­bil­der von Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen mit­hil­fe ei­ner Wer­te­ta­bel­le oder un­ter Ver­wen­dung ei­nes di­gi­ta­len Ma­the­ma­tik­werk­zeu­ges. Sie er­mit­teln Ei­gen­schaf­ten von Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und skiz­zie­ren de­ren Schau­bil­der.
Schau­bil­der
Zeich­nun­gen, Skiz­zen
Globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\)
für \(x \rightarrow \infty\): \(f(x) \rightarrow - \infty\) oder \(f(x) \rightarrow c\)
La­dung bzw. Ent­la­dung Kon­den­sa­tor
Glei­chung der Asym­pto­te

Stei­gen­der bzw. fal­len­der Ver­lauf
Ein­fluss der Pa­ra­me­ter: Wachs­tum bzw. Zer­fall

BPE 4.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den den Lo­ga­rith­mus als Um­keh­r­ope­ra­ti­on zur Lö­sung von ein­fa­chen Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen an. Sie er­mit­teln bei Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen Stel­len mit vor­ge­ge­be­nem Funk­ti­ons­wert al­ge­bra­isch.
Lo­ga­rith­mus als Um­keh­r­ope­ra­ti­on
\(q^{x} = y \Rightarrow x = \log_{q} (y)\)
ins­be­son­de­re für \(q=2\), \(q=10\) und \(q=e\)
Stel­len mit vor­ge­ge­be­nem Funk­ti­ons­wert
Be­din­gun­gen \(f(x)=0\) bzw. \(f(x)=c\)
Lö­sen von Ex­po­nen­ti­al­glei­chun­gen durch Um­keh­r­ope­ra­ti­on
\(4 \cdot 0,5^{x} = 100\); \(e^{x}=3\); \(2e^{-0,5x}+3=8\)

BPE 4.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­schei­den li­nea­res und ex­po­nen­ti­el­les Wachs­tum. Sie be­schrei­ben ex­po­nen­ti­el­le Wachs­tums- und Zer­falls­pro­zes­se mit­hil­fe von Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen. Da­bei deu­ten sie im Sach­zu­sam­men­hang die Pa­ra­me­ter des Funk­ti­ons­terms \(f(x)=a­e^{bx} + d\) bzw. \(f(x)=aq^{x}+d\)
Li­nea­res Wachs­tum
Kenn­li­nie ei­nes elek­tri­schen Wi­der­stands (Span­nung – Strom­stär­ke)
Ex­po­nen­ti­el­les Wachs­tum
Kenn­li­nie ei­ner Di­ode (Span­nung – Strom­stär­ke), Ent­la­dung Kon­den­sa­tor
Be­schränk­tes Wachs­tum
Auf­la­dung ei­nes Kon­den­sa­tors

BPE 5

Tri­go­no­me­tri­sche Funk­tio­nen

15
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen tri­go­no­me­tri­sche Funk­tio­nen und de­ren Schau­bil­der im Zu­sam­men­hang mit pe­ri­odi­schen Vor­gän­gen in Na­tur und Tech­nik. Sie er­mit­teln cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten und zei­gen Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen Funk­ti­ons­ter­men und Schau­bil­dern auf. Da­zu un­ter­schei­den sie zu­nächst Grad­maß und Bo­gen­maß. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den Um­keh­r­ope­ra­tio­nen zur Lö­sung tri­go­no­me­tri­scher Glei­chun­gen an.

BPE 5.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ver­all­ge­mei­nern tri­go­no­me­tri­sche Be­trach­tun­gen im recht­wink­li­gen Drei­eck auf den Ein­heits­kreis und un­ter­schei­den da­bei Grad­maß und Bo­gen­maß ei­nes Win­kels. Mit­hil­fe des Ein­heits­krei­ses skiz­zie­ren sie die Schau­bil­der der Si­nus- bzw. der Ko­si­nus­funk­ti­on und be­grün­den de­ren Ei­gen­schaf­ten.
Grad­maß und Bo­gen­maß ei­nes Win­kels
Be­grün­dung der Ein­füh­rung des Bo­gen­ma­ßes
Si­nus und Ko­si­nus ei­nes Win­kels am Ein­heits­kreis

Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on

Ei­gen­schaf­ten

  • De­fi­ni­ti­ons- bzw. Wer­te­be­reich

  • Am­pli­tu­de

  • Pe­ri­ode

  • Sym­me­trie

BPE 5.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben, wel­che Aus­wir­kun­gen li­nea­re Trans­for­ma­tio­nen auf Schau­bil­der der Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on ha­ben. Sie er­mit­teln zu­ge­hö­ri­ge Funk­ti­ons­ter­me nach Durch­füh­rung der ver­bal oder gra­fisch ge­ge­be­nen Trans­for­ma­tio­nen.
Trans­for­ma­tio­nen
nur \(f(x) = a \cdot \sin (bx)+d\) bzw.
\(f(x)=a \cdot \cos (bx)+d\)
  • Spie­ge­lung an der \(y\)-Ach­se
auch Ein­satz di­gi­ta­ler Mathe­ma­tik­werk­zeuge
  • Spie­ge­lung an der \(x\)-Ach­se

  • Stre­ckung in \(y\)-Rich­tung

  • Stre­ckung in \(x\)-Rich­tung

  • Ver­schie­bung in \(y\)-Rich­tung

BPE 5.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zeich­nen die Schau­bil­der von all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­tio­nen mit­hil­fe ei­ner Wer­te­ta­bel­le oder un­ter Ver­wen­dung ei­nes di­gi­ta­len Ma­the­ma­tik­werk­zeu­ges. Sie er­mit­teln Ei­gen­schaf­ten von all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­tio­nen aus­ge­hend von den Funk­ti­ons­ter­men und skiz­zie­ren de­ren Schau­bil­der.
Schau­bil­der
Zeich­nun­gen, Skiz­zen
\(f(x) = 2 \cdot \sin (\pi x)\); \(g(x)= - \cos (x)\), \(h(x)= \cos (2x)+3\)
Ei­gen­schaf­ten

  • Wer­te­be­reich

  • Am­pli­tu­de

  • Pe­ri­ode

  • Sym­me­trie

BPE 5.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler stel­len in An­wen­dungs­si­tua­tio­nen aus gra­fisch, ta­bel­la­risch oder ver­bal ge­ge­be­nen Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten den Funk­ti­ons­term ei­ner all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­ti­on auf.
Auf­stel­len von Funk­ti­ons­ter­men aus

  • Schau­bild
Misch­strom
  • Text
Wech­sel­span­nung
  • Wer­te­ta­bel­le
Mess­wer­te

BPE 5.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen Lö­sun­gen tri­go­no­me­tri­scher Glei­chun­gen. Sie wen­den da­zu Um­keh­r­ope­ra­tio­nen an und dis­ku­tie­ren die An­zahl der Lö­sun­gen. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln bei all­ge­mei­nen Si­nus- bzw. Ko­si­nus­funk­tio­nen Stel­len mit vor­ge­ge­be­nem Funk­ti­ons­wert.
Lö­sen von Glei­chun­gen mit­tels
\(0 = 2 \cdot \sin(x) + 1\), \(0 = - \cos (x) - 2\), \(0= \cos (2x)\)
  • Um­keh­rung der Re­chen­ope­ra­tio­nen
Ver­wen­dung der Be­grif­fe Ar­kus­si­nus und Ar­kus­ko­si­nus
  • Sym­me­trie

  • Pe­ri­ode

BPE 5.6

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­schrei­ben pe­ri­odi­sche Vor­gän­ge mit tri­go­no­me­tri­schen Funk­tio­nen und deu­ten die Funk­ti­ons­ei­gen­schaf­ten im An­wen­dungs­kon­text. Sie stel­len Glei­chun­gen zur Un­ter­su­chung der Vor­gän­ge auf und in­ter­pre­tie­ren die Lö­sun­gen.
Pe­ri­odi­sche Vor­gän­ge
Wech­sel­span­nung, Wech­sel­strom, Ge­zei­ten­kraft­werk

BPE 6

Li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me

10
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me auf Lös­bar­keit und ge­ben die Lö­sun­gen ge­ge­be­nen­falls an. In Er­wei­te­rung der aus der Se­kun­dar­stu­fe I be­kann­ten Ver­fah­ren wen­den sie den Gauß­al­go­rith­mus für li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me mit ma­xi­mal drei Un­be­kann­ten an. Mit­hil­fe di­gi­ta­ler Mathe­ma­tik­werk­zeuge un­ter­su­chen sie auch Sys­te­me mit mehr Un­be­kann­ten.

BPE 6.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler un­ter­su­chen li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me mit ma­xi­mal drei Un­be­kann­ten mit­tels ele­men­ta­rer Zei­len­um­for­mun­gen auf Lös­bar­keit. Sie ge­ben Lö­sun­gen ge­ge­be­nen­falls an. Mit­hil­fe di­gi­ta­ler Mathe­ma­tik­werk­zeuge un­ter­su­chen sie auch Sys­te­me mit mehr Un­be­kann­ten und dis­ku­tie­ren hier­bei die An­wend­bar­keit des Gauß­al­go­rith­mus.
Gauß­al­go­rith­mus
Ma­trix­schreib­wei­se, ele­men­ta­re Zei­len­um­for­mun­gen
Lös­bar­keit

  • ein­deu­tig lös­bar
Be­stim­mung von Strom­stär­ken in kom­ple­xen Schalt­krei­sen mit­tels Ma­schen- und Kno­ten­re­gel
  • un­lös­bar

  • mehr­deu­tig lös­bar

BPE 7

Dif­fe­ren­zi­al- und In­te­gral­rech­nung

15
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den grund­le­gen­de Tech­ni­ken der Dif­fe­ren­zi­al- und In­te­gral­rech­nung in An­wen­dungs­si­tua­tio­nen an. Sie er­mit­teln Ab­lei­tun­gen und Stamm­funk­tio­nen von Po­ly­nom- und Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen so­wie von Si­nus- und Ko­si­nus­funk­tio­nen. Dar­über hin­aus be­rech­nen sie Ex­trem­wer­te von Funk­tio­nen. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln Flä­chen­in­hal­te zwi­schen der x-Ach­se und dem Schau­bild ei­ner Funk­ti­on und be­rech­nen den Mit­tel­wert ei­ner Funk­ti­on.

BPE 7.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler deu­ten mit­hil­fe ei­nes pro­pä­deu­ti­schen Grenz­wert­be­griffs den Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­en­ten an ei­ner Stel­le als Grenz­wert des Dif­fe­ren­zen­quo­ti­en­ten.
Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent
durch­schnitt­li­che Än­de­rungs­ra­te
Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­ent, Ab­lei­tung
mo­men­ta­ne Än­de­rungs­ra­te, z. B. Strom­stär­ke
Schreib­wei­sen:

  • \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\);
  • \( \underset{ x \to x_0}{\lim} \)\(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}= \frac{dy}{dx}= f‘(x_0)\)
\(I(t) = Q‘(t)\)

BPE 7.2

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln Ab­lei­tun­gen für aus­ge­wähl­te Funk­tio­nen. Sie in­ter­pre­tie­ren den Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­en­ten gra­fisch als Stei­gung der Tan­gen­te.
Ab­lei­tung von

  • Po­tenz­funk­tio­nen
Her­lei­tung der Ab­lei­tung von \(f(x) = x^{2}\) und gra­fi­sche In­ter­pre­ta­ti­on
  • \(e^{x}\)

  • \(\sin(x)\), \(\cos(x)\)

Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­ent als Stei­gung der Tan­gen­te

BPE 7.3

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wen­den die Ab­lei­tungs­re­geln für zu­sam­men­ge­setz­te Funk­tio­nen an und über­tra­gen Kom­bi­na­tio­nen die­ser Re­geln in ein­fa­chen Fäl­len. Sie be­stim­men Stamm­funk­tio­nen von Grund­funk­tio­nen, de­ren Li­ne­ar­kom­bi­na­tio­nen und de­ren li­nea­re Ver­ket­tung und wen­den Ab­lei­tungs­re­geln zur Über­prü­fung an.

All­ge­mei­ne Ab­lei­tungs­re­geln

  • Fak­tor­re­gel

  • Sum­men­re­gel

  • Ket­ten­re­gel für li­nea­re in­ne­re Funk­tio­nen
\(f(x) = e^{2x}\) oder \(g(x) = \sin(\frac{1}{2}x)\)
Stamm­funk­tio­nen \(F(x) + c\)
Stamm­funk­tio­nen F zu \(f(x) = 2x^{3} - 2x^{2}\), \(f(x) = e^{2x+3}\), \(f(x) = \sin(3x+1)\)
Hö­he­re Ab­lei­tun­gen

BPE 7.4

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen mit­tels ers­ter und zwei­ter Ab­lei­tung Ex­trem­wer­te von Funk­tio­nen. Sie be­schrei­ben da­zu ge­eig­ne­te Ver­fah­ren.
Lo­ka­le Ex­trem­wer­te und Ex­trem­punk­te
Ma­xi­mum, Mi­ni­mum, Rand­stel­len
Not­wen­di­ge Be­din­gung
\(f‘(x)=0\)
Hin­rei­chen­de Be­din­gun­gen
Vor­zei­chen­wech­sel von \(f‘(x)\) an der Stel­le \(x_{0}\) oder \(f‘‘ (x_{0}) \ne 0\)

BPE 7.5

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­schlie­ßen den Haupt­satz der Dif­fe­ren­zi­al- und In­te­gral­rech­nung am Bei­spiel li­nea­rer Funk­tio­nen. Sie über­tra­gen die­sen Zu­sam­men­hang auf Grund­funk­tio­nen.
Be­grenz­te Flä­che zwi­schen \(x\)-Ach­se und ei­ner Ge­ra­den
Zu­sam­men­hang Flä­chen­in­halt und Stamm­funk­ti­on
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\)
Ein­satz di­gi­ta­ler Mathe­ma­tik­werk­zeuge am Bei­spiel \(f(x) = x^{2}\)

BPE 7.6

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­mit­teln Flä­chen­in­hal­te zwi­schen der x-Ach­se und dem Schau­bild ei­ner Funk­ti­on und be­rech­nen den Mit­tel­wert ei­ner Funk­ti­on.
Flä­chen­in­halt zwi­schen \(x\)-Ach­se und Schau­bild ei­ner Funk­ti­on
La­dung ei­nes Kon­den­sa­tors
Mit­tel­wert ei­ner Funk­ti­on
arith­me­ti­scher Mit­tel­wert bei Wech­sel­strom

BPE 8

Kom­ple­xe Rech­nung

10
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­grün­den die Ver­wen­dung von kom­ple­xen Zah­len und füh­ren Rech­nun­gen mittels kom­ple­xer Zah­len durch.

BPE 8.1

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­grün­den die Ver­wen­dung von kom­ple­xen Zah­len. Sie stel­len kom­ple­xe Zah­len in un­ter­schied­li­chen For­men dar und füh­ren kom­ple­xe Rech­nun­gen durch. Dar­über hin­aus deu­ten sie Ad­di­ti­on, Sub­trak­ti­on, Mul­ti­pli­ka­ti­on und Di­vi­si­on kom­ple­xer Zah­len gra­fisch.
Ima­gi­nä­re Ein­heit
Ma­the­ma­tik: \(i\), Elek­tro­tech­nik: \(j\)
Kom­ple­xe Zah­len
\(3 + 4i\)
Rech­nen mit kom­ple­xen Zah­len
auch in un­ter­schied­li­chen Dar­stel­lungs­for­men
  • Ad­di­ti­on und Sub­trak­ti­on
auch gra­fisch
  • Mul­ti­pli­ka­ti­on und Di­vi­si­on
auch gra­fisch
  • Be­trag

Dar­stel­lung kom­ple­xer Zah­len
Wech­sel­strom, kom­ple­xe Wi­der­stän­de
  • al­ge­brai­sche Form

  • gra­fisch

  • Po­lar­form, Ex­po­nen­ti­al­form

Ope­ra­to­ren­lis­te

In den Ziel­for­mu­lie­run­gen der Bil­dungs­plan­ein­hei­ten wer­den Ope­ra­to­ren (= hand­lungs­lei­ten­de Ver­ben) ver­wen­det. Die­se Ziel­for­mu­lie­run­gen le­gen fest, wel­che An­for­de­run­gen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in der Re­gel er­fül­len. Zu­sam­men mit der Zu­ord­nung zu ei­nem der drei An­for­de­rungs­be­rei­che (AFB; I: Re­pro­duk­ti­on, II: Re­or­ga­ni­sa­ti­on, III: Trans­fer/Be­wer­tung) die­nen Ope­ra­to­ren ei­ner Prä­zi­sie­rung der Ziel­for­mu­lie­run­gen. Dies si­chert das Er­rei­chen des vor­ge­se­he­nen Ni­veaus und die an­ge­mes­se­ne In­ter­pre­ta­ti­on der Stan­dards.

An­for­de­rungs­be­rei­che:
An­for­de­rungs­be­reich I um­fasst die Re­pro­duk­ti­on und die An­wen­dung ein­fa­cher Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, das Dar­stel­len von Sach­ver­hal­ten in vor­ge­ge­be­ner Form so­wie die Dar­stel­lung ein­fa­cher Be­zü­ge.
An­for­de­rungs­be­reich II um­fasst die Re­or­ga­ni­sa­ti­on und das Über­tra­gen kom­ple­xe­rer Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, die si­tua­ti­ons­ge­rech­te An­wen­dung von tech­ni­schen Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­men, die Wie­der­ga­be von Be­wer­tungs­an­sät­zen so­wie das Her­stel­len von Be­zü­gen, um tech­ni­sche Pro­blem­stel­lun­gen ent­spre­chend den all­ge­mei­nen Re­geln der Tech­nik zu lö­sen.
An­for­de­rungs­be­reich III um­fasst das pro­blem­be­zo­ge­ne An­wen­den und Über­tra­gen kom­ple­xer Sach­ver­hal­te und Fach­me­tho­den, die si­tua­ti­ons­ge­rech­te Aus­wahl von Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­men, das Her­stel­len von Be­zü­gen und das Be­wer­ten von Sach­ver­hal­ten.
Ope­ra­tor Er­läu­te­rung Zu­ord­nung
An­for­de­rungs­be­rei­che
ab­lei­ten
auf der Grund­la­ge re­le­van­ter Merk­ma­le sach­ge­rech­te Schlüs­se zie­hen
 II
ab­schät­zen
auf der Grund­la­ge von be­grün­de­ten Über­le­gun­gen Grö­ßen­ord­nun­gen an­ge­ben
 II
ana­ly­sie­ren, un­ter­su­chen
für ei­ne ge­ge­be­ne Pro­blem- oder Fra­ge­stel­lung sys­te­ma­tisch bzw. kri­te­ri­en­ge­lei­tet wich­ti­ge Be­stand­tei­le, Merk­ma­le oder Ei­gen­schaf­ten ei­nes Sach­ver­hal­tes oder ei­nes Ob­jek­tes er­schlie­ßen und de­ren Be­zie­hun­gen zu­ein­an­der dar­stel­len
 II
an­wen­den, über­tra­gen
ei­nen be­kann­ten Zu­sam­men­hang oder ei­ne be­kann­te Me­tho­de zur Lö­sungs­fin­dung bzw. Ziel­er­rei­chung auf ei­nen an­de­ren, ggf. un­be­kann­ten Sach­ver­halt be­zie­hen
 II, III
auf­bau­en
Ob­jek­te und Ge­rä­te ziel­ge­rich­tet an­ord­nen und kom­bi­nie­ren
 II
auf­stel­len
fach­spe­zi­fi­sche For­meln, Glei­chun­gen, Glei­chungs­sys­te­me, Re­ak­ti­ons­glei­chun­gen oder Re­ak­ti­ons­me­cha­nis­men ent­wi­ckeln
 II
aus­wer­ten
In­for­ma­tio­nen (Da­ten, Ein­zel­er­geb­nis­se o. a.) er­fas­sen, in ei­nen Zu­sam­men­hang stel­len und dar­aus ziel­ge­rich­te­te Schluss­fol­ge­run­gen zie­hen
 II, III
be­grün­den
Sach­ver­hal­te oder Aus­sa­gen auf Re­geln, Ge­setz­mä­ßig­kei­ten bzw. kau­sa­le Zu­sam­men­hän­ge oder wei­te­re nach­voll­zieh­ba­re Ar­gu­men­te zu­rück­füh­ren
II
be­nen­nen, nen­nen, an­ge­ben
Ele­men­te, Sach­ver­hal­te, Be­grif­fe, Da­ten oder Fak­ten oh­ne Er­läu­te­rung und Wer­tung auf­zäh­len
 I
be­ra­ten
ei­ne Ent­schei­dungs­fin­dung fach­kom­pe­tent und ziel­grup­pen­ge­recht un­ter­stüt­zen
 III
be­rech­nen
Er­geb­nis­se aus ge­ge­be­nen Wer­ten/Da­ten durch Re­chen­ope­ra­tio­nen oder gra­fi­sche Lö­sungs­me­tho­den ge­win­nen
 II
be­schrei­ben
Struk­tu­ren, Si­tua­tio­nen, Zu­sam­men­hän­ge, Pro­zes­se und Ei­gen­schaf­ten ge­nau, sach­lich, struk­tu­riert und fach­sprach­lich rich­tig mit ei­ge­nen Wor­ten dar­stel­len, da­bei wird auf Er­klä­run­gen oder Wer­tun­gen ver­zich­tet
 I, II
be­stim­men
Sach­ver­hal­te und In­hal­te prä­gnant und kri­te­ri­en­ge­lei­tet dar­stel­len
 I
be­stä­ti­gen, be­wei­sen, nach­wei­sen, über­prü­fen, prü­fen
die Gül­tig­keit, Schlüs­sig­keit und Be­rech­ti­gung ei­ner Aus­sa­ge (z. B. Hy­po­the­se, Mo­dell oder Na­tur­ge­setz) durch ein Ex­pe­ri­ment, ei­ne lo­gi­sche Her­lei­tung oder sach­li­che Ar­gu­men­ta­ti­on be­le­gen bzw. wi­der­le­gen
 III
be­ur­tei­len, Stel­lung neh­men
zu ei­nem Sach­ver­halt oder ei­ner Aus­sa­ge ei­ne ei­ge­ne, auf Fach­wis­sen so­wie fach­li­chen Me­tho­den und Maß­stä­ben be­grün­de­te Po­si­ti­on über de­ren Sinn­haf­tig­keit ver­tre­ten
III
be­wer­ten, kri­tisch Stel­lung neh­men
zu ei­nem Sach­ver­halt oder ei­ner Aus­sa­ge ei­ne ei­ge­ne, auf ge­sell­schaft­lich oder per­sön­li­che Wert­vor­stel­lun­gen be­grün­de­te Po­si­ti­on über de­ren An­nehm­bar­keit ver­tre­ten
III
cha­rak­te­ri­sie­ren
spe­zi­fi­schen Ei­gen­hei­ten von Sach­ver­hal­ten, Ob­jek­ten, Vor­gän­gen, Per­so­nen o. a. un­ter lei­ten­den Ge­sichts­punk­ten her­aus­ar­bei­ten und dar­stel­len
 II
dar­stel­len, dar­le­gen
Sach­ver­hal­te, Struk­tu­ren, Zu­sam­men­hän­ge, Me­tho­den oder Er­geb­nis­se etc. un­ter ei­ner be­stimm­ten Fra­ge­stel­lung in ge­eig­ne­ten Kom­mu­ni­ka­ti­ons­for­ma­ten struk­tu­riert und ggf. fach­sprach­lich wie­der­ge­ben
 I, II
dis­ku­tie­ren, er­ör­tern
Pro- und Kon­tra-Ar­gu­men­te zu ei­ner Aus­sa­ge bzw. Be­haup­tung ein­an­der ge­gen­über­stel­len und ab­wä­gen
 III
do­ku­men­tie­ren
Ent­schei­den­de Er­klä­run­gen, Her­lei­tun­gen und Skiz­zen zu ei­nem Sach­ver­halt bzw. Vor­gang an­ge­ben und sys­te­ma­tisch ord­nen
 I, II
durch­füh­ren
ei­ne vor­ge­ge­be­ne oder ei­ge­ne An­lei­tung bzw. An­wei­sung um­set­zen
 I, II
ein­ord­nen, ord­nen, zu­ord­nen, ka­te­go­ri­sie­ren, struk­tu­rie­ren
Be­grif­fe, Ge­gen­stän­de usw. auf der Grund­la­ge be­stimm­ter Merk­ma­le sys­te­ma­tisch ein­tei­len; so wird deut­lich, dass Zu­sam­men­hän­ge un­ter vor­ge­ge­be­nen oder selbst ge­wähl­ten Ge­sichts­punk­ten be­grün­det her­ge­stellt wer­den
 II
emp­feh­len
Pro­duk­te und Ver­hal­tens­wei­sen kun­den- und si­tua­ti­ons­ge­recht vor­schla­gen
 II
ent­wi­ckeln, ent­wer­fen, ge­stal­ten
Wis­sen und Me­tho­den ziel­ge­rich­tet und ggf. krea­tiv mit­ein­an­der ver­knüp­fen, um ei­ne ei­gen­stän­di­ge Ant­wort auf ei­ne An­nah­me oder ei­ne Lö­sung für ei­ne Pro­blem­stel­lung zu er­ar­bei­ten oder wei­ter­zu­ent­wi­ckeln
 III
er­klä­ren
Struk­tu­ren, Pro­zes­se oder Zu­sam­men­hän­ge ei­nes Sach­ver­halts nach­voll­zieh­bar, ver­ständ­lich und fach­lich be­grün­det zum Aus­druck brin­gen
I, II
er­läu­tern
We­sent­li­ches ei­nes Sach­ver­halts, Ge­gen­stands, Vor­gangs etc. mit­hil­fe von an­schau­li­chen Bei­spie­len oder durch zu­sätz­li­che In­for­ma­tio­nen ver­deut­li­chen
 II
er­mit­teln
ei­nen Zu­sam­men­hang oder ei­ne Lö­sung fin­den und das Er­geb­nis for­mu­lie­ren
 I, II
er­schlie­ßen
ge­for­der­te In­for­ma­tio­nen her­aus­ar­bei­ten oder Sach­ver­hal­te her­lei­ten, die nicht ex­pli­zit in dem zu­grun­de lie­gen­den Ma­te­ri­al ge­nannt wer­den
 II
for­mu­lie­ren
Ge­for­der­tes knapp und prä­zi­se zum Aus­druck brin­gen
 I
her­stel­len
nach an­er­kann­ten Re­geln Zu­be­rei­tun­gen aus Stof­fen ge­win­nen, an­fer­ti­gen, zu­be­rei­ten, be- oder ver­ar­bei­ten, um­fül­len, ab­fül­len, ab­pa­cken und kenn­zeich­nen
 II, III
im­ple­men­tie­ren
Struk­tu­ren un­d/o­der Pro­zes­se mit Blick auf ge­ge­be­ne Rah­men­be­din­gun­gen, Ziel­an­for­de­run­gen so­wie et­wai­ge Re­geln in ei­nem Sys­tem um­set­zen
 II, III
in­for­mie­ren
fach­li­che In­for­ma­tio­nen ziel­grup­pen­ge­recht auf­be­rei­ten und struk­tu­rie­ren
 II
in­ter­pre­tie­ren, deu­ten
auf der Grund­la­ge ei­ner be­schrei­ben­den Ana­ly­se Er­klä­rungs­mög­lich­kei­ten für Zu­sam­men­hän­ge und Wir­kungs­wei­sen mit Blick auf ein schlüs­si­ges Ge­samt­ver­ständ­nis auf­zei­gen
 III
kenn­zeich­nen
Mar­kie­run­gen, Sym­bo­le, Zei­chen oder Eti­ket­ten an­brin­gen, die gel­ten­den Kon­ven­tio­nen un­d/o­der ge­setz­li­chen Vor­schrif­ten ent­spre­chen
 II
op­ti­mie­ren
ei­nen ge­ge­be­nen tech­ni­schen Sach­ver­halt, ei­nen Quell­code oder ei­ne ge­ge­be­ne tech­ni­sche Ein­rich­tung so ver­än­dern, dass die ge­for­der­ten Kri­te­ri­en un­ter ei­nem be­stimm­ten As­pekt er­füllt wer­den
 II, III
pla­nen
die Schrit­te ei­nes Ar­beits­pro­zes­ses an­ti­zi­pie­ren und ei­ne nach­voll­zieh­ba­re er­geb­nis­ori­en­tier­te An­ord­nung der Schrit­te vor­neh­men
 III
prä­sen­tie­ren
Sach­ver­hal­te struk­tu­riert, me­di­en­ge­stützt und adres­sa­ten­ge­recht vor­tra­gen
 II
skiz­zie­ren
Sach­ver­hal­te, Ob­jek­te, Struk­tu­ren oder Er­geb­nis­se auf das We­sent­li­che re­du­zie­ren und über­sicht­lich dar­stel­len
 I
über­set­zen
ei­nen Sach­ver­halt oder ein­zel­ne Wör­ter und Phra­sen wort­ge­treu in ei­ner an­de­ren Spra­che wie­der­ge­ben
 II
va­li­die­ren, tes­ten
Er­brin­gung ei­nes do­ku­men­tier­ten Nach­wei­ses, dass ein be­stimm­ter Pro­zess oder ein Sys­tem kon­ti­nu­ier­lich ei­ne Funk­tio­na­li­tät/Pro­dukt er­zeugt, das die zu­vor de­fi­nier­ten Spe­zi­fi­ka­tio­nen und Qua­li­täts­merk­ma­le er­füllt
 I
ver­all­ge­mei­nern
aus ei­ner Ein­sicht ei­ne Aus­sa­ge for­mu­lie­ren, die für ver­schie­de­ne An­wen­dungs­be­rei­che Gül­tig­keit be­sitzt
 II
ver­drah­ten
Be­triebs­mit­tel nach ei­nem vor­ge­ge­be­nen An­schluss‑/ Strom­lauf­plan sys­te­ma­tisch elek­trisch mit­ein­an­der ver­bin­den
 I, II
ver­glei­chen, ge­gen­über­stel­len, un­ter­schei­den
nach vor­ge­ge­be­nen oder selbst ge­wähl­ten Ge­sichts­punk­ten pro­blem­be­zo­gen Ge­mein­sam­kei­ten, Ähn­lich­kei­ten und Un­ter­schie­de er­mit­teln und ge­gen­über­stel­len so­wie auf die­ser Grund­la­ge ggf. ein ge­wich­te­tes Er­geb­nis for­mu­lie­ren
 II
wie­der­ge­ben
we­sent­li­che In­for­ma­ti­on un­d/o­der de­ren Zu­sam­men­hän­ge struk­tu­riert zu­sam­men­fas­sen
 I
zeich­nen
ei­nen be­ob­acht­ba­ren oder ge­ge­be­nen Sach­ver­halt mit gra­fi­schen Mit­teln und ggf. un­ter Ein­hal­tung von fach­li­chen Kon­ven­tio­nen (z. B. Sym­bo­le, Per­spek­ti­ven etc.) dar­stel­len
 I, II
zei­gen, auf­zei­gen
Sach­ver­hal­te, Pro­zes­se o. a. sach­lich be­schrei­ben und er­läu­tern
 I, II
zu­sam­men­fas­sen
das We­sent­li­che sach­be­zo­gen, kon­zen­triert so­wie in­halt­lich und sprach­lich struk­tu­riert mit ei­ge­nen Wor­ten wie­der­ge­ben
I, II

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