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Berufliche Schulen

Bildungsplanarbeit Berufskollegs Assistenz

Mathematik I

Vorbemerkungen

Fachliche Vorbemerkungen

1. Fachspezifischer Bildungsauftrag (Bildungswert des Faches)
Im Fach „Mathematik I“ eignen sich die Schülerinnen und Schüler Grundlagen aus der Analysis und verwandter Themen anhand technischer Beispiele an. Dabei erwerben sie neben einer erweiterten allgemeinen Bildung insbesondere berufsspezifische Fähigkeiten, um zukünftigen Anforderungen kompetent und nachhaltig zu begegnen. Die genannten Fähigkeiten reichen dabei von der Wahrnehmung und dem Verständnis von im Kern mathematischen Problemstellungen sowie dem Denken in Zusammenhängen, über innermathematisches Arbeiten bis hin zu allgemeinen Problemlösefähigkeiten. Für die Schülerinnen und Schüler sind diese vor allem in der Auseinandersetzung mit realen Vorgängen, insbesondere beim Erfassen, Verarbeiten, Darstellen und Interpretieren von Daten wichtig.
Eine hohe Verantwortung tragen die Lehrpersonen, die bei der Ausgestaltung der Lehr-Lern-Arrangements den Fokus weniger auf die theoretischen Grundlagen legen, sondern die mathematischen Inhalte vorwiegend anwendungsbezogen ausgestalten sollen, um den Kompetenzerwerb der Schülerinnen und Schüler berufsbezogen zu fördern.

2. Fachliche Aussagen zum Kompetenzerwerb
Der Unterricht soll die Schülerinnen und Schüler zu zunehmend eigenständigem Handeln anleiten und anregen, ihr mathematisches Potenzial zu entfalten. In der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten und Problemstellungen sollen sie Selbstwirksamkeit erfahren und „zunehmend fähig [werden], ihr Lernen selbst zu steuern und zu verantworten“ (vgl. Basismodell zur individuellen Förderung an beruflichen Schulen). Eine horizontale wie auch vertikale Vernetzung der mathematischen Inhalte ermöglicht den Schülerinnen und Schülern, nachhaltige Grundvorstellungen aufzubauen. Das Verständnis mathematischer Begriffe und Ideen steht im Vordergrund und wird durch eine sprachsensible Gestaltung der Unterrichtsimpulse gefördert. Eine inhaltliche Binnendifferenzierung begünstigt zusätzlich das individuelle Lernen der Schülerinnen und Schüler, beispielsweise durch ergänzende Inhalte wie die Tangensfunktion oder Ableitungen von Logarithmusfunktionen.
Mathematische Kompetenzen, die gefördert werden sollen, sind in den Bildungsstandards für die allgemeine Hochschulreife formuliert:
  • K1: mathematisch argumentieren,
  • K2: Probleme mathematisch lösen,
  • K3: mathematisch modellieren,
  • K4: mathematische Darstellungen verwenden,
  • K5: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen,
  • K6: mathematisch kommunizieren.

Für die Schülerinnen und Schüler spielen diese Kompetenzen im Hinblick auf die zukünftigen Anforderungen der Berufswelt und einer eventuellen Aufnahme eines Studiums eine wichtige Rolle.

3. Ergänzende fachliche Hinweise
Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (DMW) wie spezifischer Simulationssoftware, Computer-Algebra-Systeme und Tabellenkalkulationen bietet eine wertvolle Unterstützung bei der Vermittlung der Inhalte und dem Erwerb der mathematischen Kompetenzen. Im Rahmen von individuellem, aber auch kooperativem Lernen helfen sie beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, fördern das Verständnis durch Veranschaulichung und machen den Blick frei für problemrelevante mathematische Fragestellungen.
Ihr didaktisch fundierter Einsatz als App im Unterricht orientiert sich dabei an der Lebenswirklichkeit der Schülerinnen und Schüler sowie an den zunehmend digitalisierten Prozessen der Berufswelt.
Digitale Mathematikwerkzeuge bieten zudem die Möglichkeit, unterschiedliche Modelle lebensweltlicher Vorgänge mit geringem Aufwand auszuwerten, die Ergebnisse darzustellen, zu interpretieren und zu vergleichen. Im Hinblick auf eine Bildung für nachhaltige Entwicklung stellen sie daher ein wichtiges Hilfsmittel dar, kritisches und verantwortliches Denken zu fördern.

4. Hinweis zum Umgang mit dem Fach „Mathematik II“
Das Fach „Mathematik I“ steht in einer engen Verknüpfung mit dem Fach „Mathematik II“ des Zusatzunterrichts zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufskollegs. Beide Fächer erfordern daher eine sinnvolle inhaltliche und zeitliche Abstimmung.

Hinweise zum Umgang mit dem Bildungsplan
Der Bildungsplan zeichnet sich durch eine Inhalts- und eine Kompetenzorientierung aus. In jeder Bildungsplaneinheit (BPE) werden in kursiver Schrift die übergeordneten Ziele beschrieben, die durch Zielformulierungen sowie in jeweils einer Inhalts- und Hinweisspalte konkretisiert werden. In den Zielformulierungen werden die jeweiligen fachspezifischen Operatoren als Verben verwendet. Operatoren sind handlungsinitiierende Verben, die signalisieren, welche Tätigkeiten beim Bearbeiten von Aufgaben erwartet werden; eine Operatorenliste ist jedem Bildungsplan im Anhang beigefügt. Durch die kompetenzorientierte Zielformulierung mittels dieser Operatoren wird das Anforderungsniveau bezüglich der Inhalte und der zu erwerbenden Kompetenzen definiert. Die formulierten Ziele und Inhalte sind verbindlich und damit prüfungsrelevant. Sie stellen die Regelanforderungen im jeweiligen Fach dar. Die Inhalte der Hinweisspalte sind unverbindliche Ergänzungen zur Inhaltsspalte und umfassen Beispiele, didaktische Hinweise und Querverweise auf andere Fächer bzw. BPE.
Der VIP-Bereich des Bildungsplans umfasst die Vertiefung, individualisiertes Lernen sowie Projektunterricht. Im Rahmen der hier zur Verfügung stehenden Stunden sollen die Schülerinnen und Schüler bestmöglich unterstützt und bei der Weiterentwicklung ihrer personalen und fachlichen Kompetenzen gefördert werden. Die Fachlehrerinnen und Fachlehrer nutzen diese Unterrichtszeit nach eigenen Schwerpunktsetzungen auf Basis der fächer- und bildungsgangspezifischen Besonderheiten sowie nach den Lernvoraussetzungen der einzelnen Schülerinnen und Schüler.
Der Teil „Zeit für Leistungsfeststellung“ des Bildungsplans berücksichtigt die Zeit, die zur Vorbereitung, Durchführung und Nachbereitung von Leistungsfeststellungen zur Verfügung steht. Dies kann auch die notwendige Zeit für die im Rahmen der Besonderen Lernleistungen erbrachten Leistungen, Nachbesprechung zu Leistungsfeststellungen sowie Feedback-Gespräche umfassen.

Schuljahr 1

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

40

Vertiefung

Individualisiertes Lernen

Projektunterricht
z. B.
Übungen
Anwendungen
Wiederholungen
z. B.
Selbstorganisiertes Lernen
Lernvereinbarungen
Binnendifferenzierung
z. B.
Mathematik in Naturwissenschaft und Technik
Modellierung von Nachhaltigkeit
Umgang mit Daten (Erhebung, Auswertung, Interpretation)
Erstellen von Erklärvideos
Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung fächerverbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 1

Vertiefung der Mathematik aus der Sekundarstufe I

12
In der ersten Bildungsplaneinheit untersuchen die Schülerinnen und Schüler weitere Aspekte bereits bekannter Themen aus der Sekundarstufe I im Hinblick auf den Begriff der Funktion. Sie ermitteln dabei sowohl inhaltliche Vertiefungen als auch Verknüpfungen der Themen unter Berücksichtigung der Arbeitsweise der Sekundarstufe II. Die Schülerinnen und Schüler erschließen dabei wichtige Grundvorstellungen zentraler mathematischer Begriffe, insbesondere des Funktionsbegriffs.

BPE 1.1

Die Schülerinnen und Schüler charakterisieren unterschiedliche Zahlbereiche, insbesondere die reellen Zahlen. Sie geben Teilmengen der reellen Zahlen mithilfe von Mengensymbolen durch Ungleichungen sowie in Intervallschreibweise an.
Zahlenmengen \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)
rationale bzw. irrationale Zahlen, Abzählbarkeit
Teilmengen der reellen Zahlen
\(x \in \mathbb{R}_{+}\) bzw. \(x > 0\) bzw. \(x \in ]0;\infty[\)
Intervalle
Einführung im Zusammenhang mit Definitions- bzw. Wertebereichen von Funktionen

BPE 1.2

Die Schülerinnen und Schüler erschließen den Funktionsbegriff an Beispielen. Sie ermitteln, ob eine gegebene Zuordnung eindeutig ist oder nicht. Definitions- bzw. Wertebereiche von Funktionen erläutern sie auch in Anwendungssituationen.
Zuordnungen: eindeutig/nicht eindeutig
Stromstärke – elektrische Leistung
Funktionsbegriff
eindeutige Zuordnung
Definitions- bzw. Wertebereich
zeitlich beschränkte/unbeschränkte Vorgänge, Definitionslücken

BPE 1.3

Die Schülerinnen und Schüler vergleichen unterschiedliche Darstellungsformen von Funktionen (Tabellen, Gleichungen, Schaubilder, Texte), geben Funktionen an und stellen diese unter Einsatz von Fachsprache und Fachsymbolik dar. Sie unterscheiden unabhängige und abhängige Variablen.
Darstellungsformen

  • tabellarisch
Stromstärke – Spannung
  • algebraisch
\(f(x)=2x\), \(g(x)=x^{2}\), \(h(x)=e^{x}\)
  • grafisch
Kennlinien elektrischer Bauteile, Ladung/Entladung von Kondensatoren, Schaubilder zu \(f(x)=2x\), \(g(x)=x^{2}\), \(h(x)=e^{x}\), \(i(x)=\sin(x)\)
Schreib- und Sprechweisen
\(f(2)=4\): Der Punkt P(2|4) liegt auf dem Schaubild von f.
\(h(x) > 0\) für \(x \in D_{h}\): Das Schaubild von h verläuft oberhalb der x-Achse.
\(f(2)=g(2)=4\): Die Schaubilder von f und g schneiden sich im Punkt S(2|4).

BPE 1.4

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln, welche Geraden sich als Schaubilder linearer Funktionen darstellen lassen. Sie berechnen den Steigungswinkel von Geraden und deuten ihn grafisch. Ebenso untersuchen sie die gegenseitige Lage von Geraden.
Geraden als Schaubilder linearer Funktionen

Besondere Geraden

  • Parallelen zu den Koordinatenachsen
z. B. \(x=2\), \(y=-5\)
  • erste und zweite Winkelhalbierende

Steigungsdreieck
Differenzenquotient
Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden, \(m=\tan (\alpha)\)

Lagebeziehung zweier Geraden
Orthogonalitätsbedingung \(m_{g}\cdot m_{h}=-1\), zugehöriger Beweis

BPE 1.5

Die Schülerinnen und Schüler deuten Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke und geben verschiedene Darstellungsformen an. Sie erläutern an Beispielen die Gültigkeit der Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen und wenden diese Rechengesetze an.
Potenzen mit rationalen Exponenten
\(a^{0}=1\); \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\); \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\)
Potenzgesetze

BPE 2

Potenzfunktionen

8
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten. Sie ermitteln charakteristische Eigenschaften der zugehörigen Schaubilder und erklären deren Zustandekommen. Beginnend bei quadratischen Funktionen führen sie lineare Transformationen an den Schaubildern von Potenzfunktionen durch.

BPE 2.1

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Schaubilder von Potenzfunktionen, insbesondere mit Anwendungsbezug. Sie ermitteln die Eigenschaften von Potenzfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und den zugehörigen Schaubildern.
Potenzfunktionen
\(f(x)=x^{r}\) mit \(r \in \mathbb{Z}\)
Schaubilder

Eigenschaften

  • Definitions- bzw. Wertebereich
Stromstärke in Abhängigkeit eines ohmschen Widerstands
  • globales Verhalten für \(x\rightarrow\pm\infty\)
Leistung von Wind- oder Gezeitenkraftwerken bezüglich der Geschwindigkeit des Energieträgers
  • Symmetrie zum Ursprung: \(f( - x)= - f(x)\), Symmetrie zur \(y\)-Achse: \(f( - x)= f(x)\)

BPE 2.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben, welche Auswirkungen lineare Transformationen auf Schaubilder von Potenzfunktionen haben. Sie ermitteln zugehörige Funktionsterme nach Durchführung der verbal oder grafisch gegebenen Transformationen.
Funktionen
\(f(x)=x^{2}\), \(g(x)=x^{3}\)
Transformationen
Normalparabel aus Ausgangsbeispiel
  • Spiegelung an der \(x\)-Achse

  • Streckung in \(y\)-Richtung
Skaleneffekte bei der Gewinnung von Windenergie
  • Verschiebung in \(y\)-Richtung

  • Verschiebung in \(x\)-Richtung
Veränderung der Symmetrieachse

BPE 2.3

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Lösungen einfacher Potenzgleichungen algebraisch.
Potenzgleichungen
z. B. \(x^{3} = - 4\), \(6x^{-2}=3\)

BPE 3

Polynomfunktionen

15
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Polynomfunktionen und deren Schaubilder (auch in Anwendungssituationen). Sie ermitteln charakteristische Eigenschaften und zeigen Zusammenhänge zwischen Funktionstermen und Schaubildern auf. In einfachen Fällen berechnen sie Lösungen von Polynomgleichungen und überprüfen diese anhand der Schaubilder der zugehörigen Funktionen.

BPE 3.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Polynomfunktionen mittels unterschiedlicher Darstellungsformen. Sie ermitteln geeignete Darstellungsformen im mathematischen bzw. anwendungsorientierten Kontext.
Polynomfunktionen n-ten Grades

Darstellungsformen

  • Normalform
z. B. \(f(x) = 2x^{5} - 3x^{3}+1\)
  • Produktform
z. B. \(f(x)=3(x - 4)(x - 1)^{3}\)
  • Scheitelform der Parabel
Wurfparabel

BPE 3.2

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen die Schaubilder von Polynomfunktionen mithilfe einer Wertetabelle oder unter Verwendung eines digitalen Mathematikwerkzeuges. Sie ermitteln Eigenschaften von Polynomfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und skizzieren deren Schaubilder.
Schaubilder
Zeichnungen, Skizzen
Eigenschaften

  • Definitions- bzw. Wertebereich
Hochpunkte, Tiefpunkte, Minimum, Maximum
  • globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\)
Wachstum, Unbeschränktheit
  • Symmetrie zum Ursprung: \(f( - x) = - f(x)\), Symmetrie zur \(y\)-Achse: \(f( - x)=f(x)\)
nur ungerade bzw. gerade Hochzahlen
  • gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen
Bedingungen \(x=0\) bzw. \(f(x)=0\),
Vielfachheit der Nullstellen

BPE 3.3

Die Schülerinnen und Schüler stellen aus grafisch, tabellarisch oder verbal gegebenen Funktionseigenschaften Ansätze und Bedingungen zur Bestimmung von Funktionstermen auf. In geeigneten Fällen ermitteln sie zugehörige Funktionsterme.
Aufstellen von Funktionstermen aus

  • Schaubild
z. B. \(f(x) = ax^{4} + bx^{2} + 1\)
  • Text
z. B. \(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})^{2}\)
  • Wertetabelle
z. B. \(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\)

BPE 3.4

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Lösungen von Polynomgleichungen algebraisch und diskutieren mögliche Lösungsstrategien. Sie interpretieren die berechneten Lösungen als Nullstellen einer Funktion bzw. Schnittstellen zweier Funktionen.
Lösungsstrategien
auch Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
  • Umkehrung der Rechenoperationen

  • Faktorisieren durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

  • Lösungsformeln für quadratische Gleichungen
Lösbarkeit von Polynomgleichungen
  • Substitution

BPE 4

Exponentialfunktionen

15
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Exponentialfunktionen und deren Schaubilder, insbesondere im Zusammenhang mit Wachstums- und Zerfallsprozessen. Sie ermitteln charakteristische Eigenschaften und zeigen Zusammenhänge zwischen Funktionstermen und Schaubildern auf. Darüber hinaus führen sie lineare Transformationen der Schaubilder durch und geben die zugehörigen Funktionsterme an. Die Schülerinnen und Schüler deuten die Euler'sche Zahl als spezielle Basis und berechnen diese näherungsweise. Sie wenden den Logarithmus als Umkehroperation zur Lösung von einfachen Exponentialgleichungen an.

BPE 4.1

Die Schülerinnen und Schüler charakterisieren Exponentialfunktionen anhand von Funktionsterm und Schaubild. Sie berechnen die Euler'sche Zahl näherungsweise und deuten diese als spezielle Basis.
Exponentialfunktionen

  • zur Basis q mit \(q > 0\) und \(q \ne 1\)
\(f(x) = q^{x}\)
  • zur Basis \(e\)
\(f(x) = e^{x}\)
Euler'sche Zahl \(e\)
Ermittlung über \(q^{x} \approx x+1\) bei \(x=0\)

BPE 4.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben, welche Auswirkungen lineare Transformationen auf Schaubilder von Exponentialfunktionen haben. Sie ermitteln zugehörige Funktionsterme nach Durchführung der verbal oder grafisch gegebenen Transformationen.
Transformationen (auch Kombinationen davon)
Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
  • Spiegelung an der \(y\)-Achse

  • Spiegelung an der \(x\)-Achse

  • Streckung in \(y\)-Richtung

  • Streckung in \(x\)-Richtung

  • Verschiebung in \(y\)-Richtung

  • Verschiebung in \(x\)-Richtung

BPE 4.3

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen die Schaubilder von Exponentialfunktionen mithilfe einer Wertetabelle oder unter Verwendung eines digitalen Mathematikwerkzeuges. Sie ermitteln Eigenschaften von Exponentialfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und skizzieren deren Schaubilder.
Schaubilder
Zeichnungen, Skizzen
Globales Verhalten für \(x \rightarrow \pm \infty\)
für \(x \rightarrow \infty\): \(f(x) \rightarrow - \infty\) oder \(f(x) \rightarrow c\)
Ladung bzw. Entladung Kondensator
Gleichung der Asymptote

Steigender bzw. fallender Verlauf
Einfluss der Parameter: Wachstum bzw. Zerfall

BPE 4.4

Die Schülerinnen und Schüler wenden den Logarithmus als Umkehroperation zur Lösung von einfachen Exponentialgleichungen an. Sie ermitteln bei Exponentialfunktionen Stellen mit vorgegebenem Funktionswert algebraisch.
Logarithmus als Umkehroperation
\(q^{x} = y \Rightarrow x = \log_{q} (y)\)
insbesondere für \(q=2\), \(q=10\) und \(q=e\)
Stellen mit vorgegebenem Funktionswert
Bedingungen \(f(x)=0\) bzw. \(f(x)=c\)
Lösen von Exponentialgleichungen durch Umkehroperation
\(4 \cdot 0,5^{x} = 100\); \(e^{x}=3\); \(2e^{-0,5x}+3=8\)

BPE 4.5

Die Schülerinnen und Schüler unterscheiden lineares und exponentielles Wachstum. Sie beschreiben exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen. Dabei deuten sie im Sachzusammenhang die Parameter des Funktionsterms \(f(x)=ae^{bx} + d\) bzw. \(f(x)=aq^{x}+d\)
Lineares Wachstum
Kennlinie eines elektrischen Widerstands (Spannung – Stromstärke)
Exponentielles Wachstum
Kennlinie einer Diode (Spannung – Stromstärke), Entladung Kondensator
Beschränktes Wachstum
Aufladung eines Kondensators

BPE 5

Trigonometrische Funktionen

15
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen trigonometrische Funktionen und deren Schaubilder im Zusammenhang mit periodischen Vorgängen in Natur und Technik. Sie ermitteln charakteristische Eigenschaften und zeigen Zusammenhänge zwischen Funktionstermen und Schaubildern auf. Dazu unterscheiden sie zunächst Gradmaß und Bogenmaß. Die Schülerinnen und Schüler wenden Umkehroperationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen an.

BPE 5.1

Die Schülerinnen und Schüler verallgemeinern trigonometrische Betrachtungen im rechtwinkligen Dreieck auf den Einheitskreis und unterscheiden dabei Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels. Mithilfe des Einheitskreises skizzieren sie die Schaubilder der Sinus- bzw. der Kosinusfunktion und begründen deren Eigenschaften.
Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels
Begründung der Einführung des Bogenmaßes
Sinus und Kosinus eines Winkels am Einheitskreis

Sinus- bzw. Kosinusfunktion

Eigenschaften

  • Definitions- bzw. Wertebereich

  • Amplitude

  • Periode

  • Symmetrie

BPE 5.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben, welche Auswirkungen lineare Transformationen auf Schaubilder der Sinus- bzw. Kosinusfunktion haben. Sie ermitteln zugehörige Funktionsterme nach Durchführung der verbal oder grafisch gegebenen Transformationen.
Transformationen
nur \(f(x) = a \cdot \sin (bx)+d\) bzw.
\(f(x)=a \cdot \cos (bx)+d\)
  • Spiegelung an der \(y\)-Achse
auch Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
  • Spiegelung an der \(x\)-Achse

  • Streckung in \(y\)-Richtung

  • Streckung in \(x\)-Richtung

  • Verschiebung in \(y\)-Richtung

BPE 5.3

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen die Schaubilder von allgemeinen Sinus- bzw. Kosinusfunktionen mithilfe einer Wertetabelle oder unter Verwendung eines digitalen Mathematikwerkzeuges. Sie ermitteln Eigenschaften von allgemeinen Sinus- bzw. Kosinusfunktionen ausgehend von den Funktionstermen und skizzieren deren Schaubilder.
Schaubilder
Zeichnungen, Skizzen
\(f(x) = 2 \cdot \sin (\pi x)\); \(g(x)= - \cos (x)\), \(h(x)= \cos (2x)+3\)
Eigenschaften

  • Wertebereich

  • Amplitude

  • Periode

  • Symmetrie

BPE 5.4

Die Schülerinnen und Schüler stellen in Anwendungssituationen aus grafisch, tabellarisch oder verbal gegebenen Funktionseigenschaften den Funktionsterm einer allgemeinen Sinus- bzw. Kosinusfunktion auf.
Aufstellen von Funktionstermen aus

  • Schaubild
Mischstrom
  • Text
Wechselspannung
  • Wertetabelle
Messwerte

BPE 5.5

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Lösungen trigonometrischer Gleichungen. Sie wenden dazu Umkehroperationen an und diskutieren die Anzahl der Lösungen. Die Schülerinnen und Schüler ermitteln bei allgemeinen Sinus- bzw. Kosinusfunktionen Stellen mit vorgegebenem Funktionswert.
Lösen von Gleichungen mittels
\(0 = 2 \cdot \sin(x) + 1\), \(0 = - \cos (x) - 2\), \(0= \cos (2x)\)
  • Umkehrung der Rechenoperationen
Verwendung der Begriffe Arkussinus und Arkuskosinus
  • Symmetrie

  • Periode

BPE 5.6

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben periodische Vorgänge mit trigonometrischen Funktionen und deuten die Funktionseigenschaften im Anwendungskontext. Sie stellen Gleichungen zur Untersuchung der Vorgänge auf und interpretieren die Lösungen.
Periodische Vorgänge
Wechselspannung, Wechselstrom, Gezeitenkraftwerk

BPE 6

Lineare Gleichungssysteme

10
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen lineare Gleichungssysteme auf Lösbarkeit und geben die Lösungen gegebenenfalls an. In Erweiterung der aus der Sekundarstufe I bekannten Verfahren wenden sie den Gaußalgorithmus für lineare Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an. Mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge untersuchen sie auch Systeme mit mehr Unbekannten.

BPE 6.1

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen lineare Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten mittels elementarer Zeilenumformungen auf Lösbarkeit. Sie geben Lösungen gegebenenfalls an. Mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge untersuchen sie auch Systeme mit mehr Unbekannten und diskutieren hierbei die Anwendbarkeit des Gaußalgorithmus.
Gaußalgorithmus
Matrixschreibweise, elementare Zeilenumformungen
Lösbarkeit

  • eindeutig lösbar
Bestimmung von Stromstärken in komplexen Schaltkreisen mittels Maschen- und Knotenregel
  • unlösbar

  • mehrdeutig lösbar

BPE 7

Differenzial- und Integralrechnung

15
Die Schülerinnen und Schüler wenden grundlegende Techniken der Differenzial- und Integralrechnung in Anwendungssituationen an. Sie ermitteln Ableitungen und Stammfunktionen von Polynom- und Exponentialfunktionen sowie von Sinus- und Kosinusfunktionen. Darüber hinaus berechnen sie Extremwerte von Funktionen. Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Flächeninhalte zwischen der x-Achse und dem Schaubild einer Funktion und berechnen den Mittelwert einer Funktion.

BPE 7.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten mithilfe eines propädeutischen Grenzwertbegriffs den Differenzialquotienten an einer Stelle als Grenzwert des Differenzenquotienten.
Differenzenquotient
durchschnittliche Änderungsrate
Differenzialquotient, Ableitung
momentane Änderungsrate, z. B. Stromstärke
Schreibweisen:

  • \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\);
  • \( \underset{ x \to x_0}{\lim} \)\(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}= \frac{dy}{dx}= f‘(x_0)\)
\(I(t) = Q‘(t)\)

BPE 7.2

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Ableitungen für ausgewählte Funktionen. Sie interpretieren den Differenzialquotienten grafisch als Steigung der Tangente.
Ableitung von

  • Potenzfunktionen
Herleitung der Ableitung von \(f(x) = x^{2}\) und grafische Interpretation
  • \(e^{x}\)

  • \(\sin(x)\), \(\cos(x)\)

Differenzialquotient als Steigung der Tangente

BPE 7.3

Die Schülerinnen und Schüler wenden die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen an und übertragen Kombinationen dieser Regeln in einfachen Fällen. Sie bestimmen Stammfunktionen von Grundfunktionen, deren Linearkombinationen und deren lineare Verkettung und wenden Ableitungsregeln zur Überprüfung an.

Allgemeine Ableitungsregeln

  • Faktorregel

  • Summenregel

  • Kettenregel für lineare innere Funktionen
\(f(x) = e^{2x}\) oder \(g(x) = \sin(\frac{1}{2}x)\)
Stammfunktionen \(F(x) + c\)
Stammfunktionen F zu \(f(x) = 2x^{3} - 2x^{2}\), \(f(x) = e^{2x+3}\), \(f(x) = \sin(3x+1)\)
Höhere Ableitungen

BPE 7.4

Die Schülerinnen und Schüler berechnen mittels erster und zweiter Ableitung Extremwerte von Funktionen. Sie beschreiben dazu geeignete Verfahren.
Lokale Extremwerte und Extrempunkte
Maximum, Minimum, Randstellen
Notwendige Bedingung
\(f‘(x)=0\)
Hinreichende Bedingungen
Vorzeichenwechsel von \(f‘(x)\) an der Stelle \(x_{0}\) oder \(f‘‘ (x_{0}) \ne 0\)

BPE 7.5

Die Schülerinnen und Schüler erschließen den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung am Beispiel linearer Funktionen. Sie übertragen diesen Zusammenhang auf Grundfunktionen.
Begrenzte Fläche zwischen \(x\)-Achse und einer Geraden
Zusammenhang Flächeninhalt und Stammfunktion
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\)
Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge am Beispiel \(f(x) = x^{2}\)

BPE 7.6

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Flächeninhalte zwischen der x-Achse und dem Schaubild einer Funktion und berechnen den Mittelwert einer Funktion.
Flächeninhalt zwischen \(x\)-Achse und Schaubild einer Funktion
Ladung eines Kondensators
Mittelwert einer Funktion
arithmetischer Mittelwert bei Wechselstrom

BPE 8

Komplexe Rechnung

10
Die Schülerinnen und Schüler begründen die Verwendung von komplexen Zahlen und führen Rechnungen mittels komplexer Zahlen durch.

BPE 8.1

Die Schülerinnen und Schüler begründen die Verwendung von komplexen Zahlen. Sie stellen komplexe Zahlen in unterschiedlichen Formen dar und führen komplexe Rechnungen durch. Darüber hinaus deuten sie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen grafisch.
Imaginäre Einheit
Mathematik: \(i\), Elektrotechnik: \(j\)
Komplexe Zahlen
\(3 + 4i\)
Rechnen mit komplexen Zahlen
auch in unterschiedlichen Darstellungsformen
  • Addition und Subtraktion
auch grafisch
  • Multiplikation und Division
auch grafisch
  • Betrag

Darstellung komplexer Zahlen
Wechselstrom, komplexe Widerstände
  • algebraische Form

  • grafisch

  • Polarform, Exponentialform

Zeit für Leistungsfeststellung

20

140

160

Operatorenliste

In den Zielformulierungen der Bildungsplaneinheiten werden Operatoren (= handlungsleitende Verben) verwendet. Diese Zielformulierungen legen fest, welche Anforderungen die Schülerinnen und Schüler in der Regel erfüllen. Zusammen mit der Zuordnung zu einem der drei Anforderungsbereiche (AFB; I: Reproduktion, II: Reorganisation, III: Transfer/Bewertung) dienen Operatoren einer Präzisierung der Zielformulierungen. Dies sichert das Erreichen des vorgesehenen Niveaus und die angemessene Interpretation der Standards.

Anforderungsbereiche


Anforderungsbereiche:
Anforderungsbereich I umfasst die Reproduktion und die Anwendung einfacher Sachverhalte und Fachmethoden, das Darstellen von Sachverhalten in vorgegebener Form sowie die Darstellung einfacher Bezüge.
Anforderungsbereich II umfasst die Reorganisation und das Übertragen komplexerer Sachverhalte und Fachmethoden, die situationsgerechte Anwendung von technischen Kommunikationsformen, die Wiedergabe von Bewertungsansätzen sowie das Herstellen von Bezügen, um technische Problemstellungen entsprechend den allgemeinen Regeln der Technik zu lösen.
Anforderungsbereich III umfasst das problembezogene Anwenden und Übertragen komplexer Sachverhalte und Fachmethoden, die situationsgerechte Auswahl von Kommunikationsformen, das Herstellen von Bezügen und das Bewerten von Sachverhalten.
Operator Erläuterung Zuordnung
Anforderungsbereiche
ableiten
auf der Grundlage relevanter Merkmale sachgerechte Schlüsse ziehen
 II
abschätzen
auf der Grundlage von begründeten Überlegungen Größenordnungen angeben
 II
analysieren, untersuchen
für eine gegebene Problem- oder Fragestellung systematisch bzw. kriteriengeleitet wichtige Bestandteile, Merkmale oder Eigenschaften eines Sachverhaltes oder eines Objektes erschließen und deren Beziehungen zueinander darstellen
 II
anwenden, übertragen
einen bekannten Zusammenhang oder eine bekannte Methode zur Lösungsfindung bzw. Zielerreichung auf einen anderen, ggf. unbekannten Sachverhalt beziehen
 II, III
aufbauen
Objekte und Geräte zielgerichtet anordnen und kombinieren
 II
aufstellen
fachspezifische Formeln, Gleichungen, Gleichungssysteme, Reaktionsgleichungen oder Reaktionsmechanismen entwickeln
 II
auswerten
Informationen (Daten, Einzelergebnisse o. a.) erfassen, in einen Zusammenhang stellen und daraus zielgerichtete Schlussfolgerungen ziehen
 II, III
begründen
Sachverhalte oder Aussagen auf Regeln, Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge oder weitere nachvollziehbare Argumente zurückführen
II
benennen, nennen, angeben
Elemente, Sachverhalte, Begriffe, Daten oder Fakten ohne Erläuterung und Wertung aufzählen
 I
beraten
eine Entscheidungsfindung fachkompetent und zielgruppengerecht unterstützen
 III
berechnen
Ergebnisse aus gegebenen Werten/Daten durch Rechenoperationen oder grafische Lösungsmethoden gewinnen
 II
beschreiben
Strukturen, Situationen, Zusammenhänge, Prozesse und Eigenschaften genau, sachlich, strukturiert und fachsprachlich richtig mit eigenen Worten darstellen, dabei wird auf Erklärungen oder Wertungen verzichtet
 I, II
bestimmen
Sachverhalte und Inhalte prägnant und kriteriengeleitet darstellen
 I
bestätigen, beweisen, nachweisen, überprüfen, prüfen
die Gültigkeit, Schlüssigkeit und Berechtigung einer Aussage (z. B. Hypothese, Modell oder Naturgesetz) durch ein Experiment, eine logische Herleitung oder sachliche Argumentation belegen bzw. widerlegen
 III
beurteilen, Stellung nehmen
zu einem Sachverhalt oder einer Aussage eine eigene, auf Fachwissen sowie fachlichen Methoden und Maßstäben begründete Position über deren Sinnhaftigkeit vertreten
III
bewerten, kritisch Stellung nehmen
zu einem Sachverhalt oder einer Aussage eine eigene, auf gesellschaftlich oder persönliche Wertvorstellungen begründete Position über deren Annehmbarkeit vertreten
III
charakterisieren
spezifischen Eigenheiten von Sachverhalten, Objekten, Vorgängen, Personen o. a. unter leitenden Gesichtspunkten herausarbeiten und darstellen
 II
darstellen, darlegen
Sachverhalte, Strukturen, Zusammenhänge, Methoden oder Ergebnisse etc. unter einer bestimmten Fragestellung in geeigneten Kommunikationsformaten strukturiert und ggf. fachsprachlich wiedergeben
 I, II
diskutieren, erörtern
Pro- und Kontra-Argumente zu einer Aussage bzw. Behauptung einander gegenüberstellen und abwägen
 III
dokumentieren
Entscheidende Erklärungen, Herleitungen und Skizzen zu einem Sachverhalt bzw. Vorgang angeben und systematisch ordnen
 I, II
durchführen
eine vorgegebene oder eigene Anleitung bzw. Anweisung umsetzen
 I, II
einordnen, ordnen, zuordnen, kategorisieren, strukturieren
Begriffe, Gegenstände usw. auf der Grundlage bestimmter Merkmale systematisch einteilen; so wird deutlich, dass Zusammenhänge unter vorgegebenen oder selbst gewählten Gesichtspunkten begründet hergestellt werden
 II
empfehlen
Produkte und Verhaltensweisen kunden- und situationsgerecht vorschlagen
 II
entwickeln, entwerfen, gestalten
Wissen und Methoden zielgerichtet und ggf. kreativ miteinander verknüpfen, um eine eigenständige Antwort auf eine Annahme oder eine Lösung für eine Problemstellung zu erarbeiten oder weiterzuentwickeln
 III
erklären
Strukturen, Prozesse oder Zusammenhänge eines Sachverhalts nachvollziehbar, verständlich und fachlich begründet zum Ausdruck bringen
I, II
erläutern
Wesentliches eines Sachverhalts, Gegenstands, Vorgangs etc. mithilfe von anschaulichen Beispielen oder durch zusätzliche Informationen verdeutlichen
 II
ermitteln
einen Zusammenhang oder eine Lösung finden und das Ergebnis formulieren
 I, II
erschließen
geforderte Informationen herausarbeiten oder Sachverhalte herleiten, die nicht explizit in dem zugrunde liegenden Material genannt werden
 II
formulieren
Gefordertes knapp und präzise zum Ausdruck bringen
 I
herstellen
nach anerkannten Regeln Zubereitungen aus Stoffen gewinnen, anfertigen, zubereiten, be- oder verarbeiten, umfüllen, abfüllen, abpacken und kennzeichnen
 II, III
implementieren
Strukturen und/oder Prozesse mit Blick auf gegebene Rahmenbedingungen, Zielanforderungen sowie etwaige Regeln in einem System umsetzen
 II, III
informieren
fachliche Informationen zielgruppengerecht aufbereiten und strukturieren
 II
interpretieren, deuten
auf der Grundlage einer beschreibenden Analyse Erklärungsmöglichkeiten für Zusammenhänge und Wirkungsweisen mit Blick auf ein schlüssiges Gesamtverständnis aufzeigen
 III
kennzeichnen
Markierungen, Symbole, Zeichen oder Etiketten anbringen, die geltenden Konventionen und/oder gesetzlichen Vorschriften entsprechen
 II
optimieren
einen gegebenen technischen Sachverhalt, einen Quellcode oder eine gegebene technische Einrichtung so verändern, dass die geforderten Kriterien unter einem bestimmten Aspekt erfüllt werden
 II, III
planen
die Schritte eines Arbeitsprozesses antizipieren und eine nachvollziehbare ergebnisorientierte Anordnung der Schritte vornehmen
 III
präsentieren
Sachverhalte strukturiert, mediengestützt und adressatengerecht vortragen
 II
skizzieren
Sachverhalte, Objekte, Strukturen oder Ergebnisse auf das Wesentliche reduzieren und übersichtlich darstellen
 I
übersetzen
einen Sachverhalt oder einzelne Wörter und Phrasen wortgetreu in einer anderen Sprache wiedergeben
 II
validieren, testen
Erbringung eines dokumentierten Nachweises, dass ein bestimmter Prozess oder ein System kontinuierlich eine Funktionalität/Produkt erzeugt, das die zuvor definierten Spezifikationen und Qualitätsmerkmale erfüllt
 I
verallgemeinern
aus einer Einsicht eine Aussage formulieren, die für verschiedene Anwendungsbereiche Gültigkeit besitzt
 II
verdrahten
Betriebsmittel nach einem vorgegebenen Anschluss‑/ Stromlaufplan systematisch elektrisch miteinander verbinden
 I, II
vergleichen, gegenüberstellen, unterscheiden
nach vorgegebenen oder selbst gewählten Gesichtspunkten problembezogen Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und gegenüberstellen sowie auf dieser Grundlage ggf. ein gewichtetes Ergebnis formulieren
 II
wiedergeben
wesentliche Information und/oder deren Zusammenhänge strukturiert zusammenfassen
 I
zeichnen
einen beobachtbaren oder gegebenen Sachverhalt mit grafischen Mitteln und ggf. unter Einhaltung von fachlichen Konventionen (z. B. Symbole, Perspektiven etc.) darstellen
 I, II
zeigen, aufzeigen
Sachverhalte, Prozesse o. a. sachlich beschreiben und erläutern
 I, II
zusammenfassen
das Wesentliche sachbezogen, konzentriert sowie inhaltlich und sprachlich strukturiert mit eigenen Worten wiedergeben
I, II

Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg

Stuttgart, 07.09.2024
Bildungsplan für das Berufskolleg
hier: Berufskolleg Informationstechnik
Berufskolleg für technische Assistenten (Bildungsplan zur Erprobung)
Vom
Aktenzeichen KM 41-6623-3/4/1

I.

II.

Für das Berufskolleg gilt der als Anlage beigefügte Bildungsplan.
Der Bildungsplan gilt
für das Schuljahr 1 ab 1. August 2023.

Mathematik I – Bildungsplan zur Erprobung
Bildungsplan für das Berufskolleg
Informationstechnische Assistenten

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