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1. Leit­ge­dan­ken zum Kom­pe­ten­z­er­werb

1.1 Bil­dungs­wert des Fa­ches Ma­the­ma­tik

Ma­the­ma­tik ist ei­ne zen­tra­le kul­tu­rel­le und zi­vi­li­sa­to­ri­sche Er­run­gen­schaft. Ma­the­ma­tik un­ter­stützt bei der Be­wäl­ti­gung viel­fäl­ti­ger Le­bens­si­tua­tio­nen und dient kul­tur­über­grei­fend als Spra­che in ei­ner zu­neh­mend tech­ni­sier­ten und öko­no­mi­sier­ten Welt. So zählt bei­spiels­wei­se ma­the­ma­ti­sche Mo­del­lie­rung zu den ba­sa­len Werk­zeu­gen und ih­re Er­geb­nis­se sind als Zu­gang zum Ver­ständ­nis der Welt und als Ori­en­tie­rung in der Welt von ent­schei­den­der Be­deu­tung. Dar­über hin­aus ist Ma­the­ma­tik ei­ne ei­gen­stän­di­ge und le­ben­di­ge Wis­sen­schaft mit ei­ner de­duk­tiv ge­ord­ne­ten Welt ei­ge­ner Art.

Kom­pe­tenz­ent­wick­lung

Ei­ne ma­the­ma­ti­sche Grund­bil­dung hat zum Ziel, die Rol­le der Ma­the­ma­tik in der Welt zu ver­deut­li­chen und die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in die La­ge zu ver­set­zen, ma­the­ma­ti­sches Wis­sen funk­tio­nal ein­zu­set­zen und in viel­fäl­ti­gen Si­tua­tio­nen ma­the­ma­tisch be­grün­det Ent­schei­dun­gen zu tref­fen oder Aus­sa­gen zu be­ur­tei­len. Ma­the­ma­ti­sche Bil­dung be­fä­higt die Schü­le­rin­nen und Schü­ler, sich in ih­rer Le­bens­welt zu ori­en­tie­ren, die­se auch un­ter ma­the­ma­ti­schen Ge­sichts­punk­ten zu be­trach­ten und zu ver­ste­hen und Ma­the­ma­tik in Be­ruf und Stu­di­um er­folg­reich und ver­ant­wort­lich an­zu­wen­den.

Ma­the­ma­ti­sche Bil­dung trägt zur Bil­dung der Schü­le­rin­nen und Schü­ler bei, in­dem sie ih­nen ins­be­son­de­re fol­gen­de Grund­er­fah­run­gen nach Win­ter er­mög­licht, die mit­ein­an­der in en­gem Zu­sam­men­hang ste­hen:

  • tech­ni­sche, na­tür­li­che, so­zia­le und kul­tu­rel­le Er­schei­nun­gen und Vor­gän­ge mit­hil­fe der Ma­the­ma­tik wahr­neh­men, ver­ste­hen und un­ter Nut­zung ma­the­ma­ti­scher Ge­sichts­punk­te be­ur­tei­len;
  • Ma­the­ma­tik mit ih­rer Spra­che, ih­ren Sym­bo­len, Bil­dern und For­meln in der Be­deu­tung für die Be­schrei­bung und Be­ar­bei­tung von Auf­ga­ben und Pro­ble­men in­ner- und au­ßer­halb der Ma­the­ma­tik ken­nen und be­grei­fen;
  • in der Be­ar­bei­tung von Fra­gen und Pro­ble­men mit ma­the­ma­ti­schen Mit­teln all­ge­mei­ne Pro­blem­lö­se­fä­hig­keit er­wer­ben.

Ent­wick­lung der Per­sön­lich­keit

Die Be­schäf­ti­gung mit inn­er­ma­the­ma­ti­schen oder ma­the­ma­ti­sier­ba­ren Pro­ble­men trägt we­sent­lich zur Ent­wick­lung der Per­sön­lich­keit bei. Leis­tungs­be­reit­schaft, Kon­zen­tra­ti­ons­fä­hig­keit, Aus­dau­er, Sorg­falt, Ex­akt­heit und Ziel­stre­big­keit wer­den ge­för­dert und ge­for­dert. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­ken­nen, dass zur Be­wäl­ti­gung ma­the­ma­ti­scher Her­aus­for­de­run­gen der Auf­bau ma­the­ma­ti­schen Wis­sens und prä­zi­ses Den­ken und For­mu­lie­ren not­wen­dig sind. Sie über­neh­men Ver­ant­wor­tung für das ei­ge­ne Ler­nen, er­zie­len Er­folgs­er­leb­nis­se beim ma­the­ma­ti­schen Ar­bei­ten, sei es al­lein oder in der Grup­pe, und re­flek­tie­ren ei­ge­ne Denk- und Lö­sungs­an­sät­ze und die an­de­rer. So er­öff­net der Ma­the­ma­tik­un­ter­richt Chan­cen zur Ent­wick­lung ei­nes po­si­ti­ven Selbst­kon­zepts und ei­ner ver­ant­wort­li­chen Selbst­re­gu­la­ti­on.

Bei­trag des Fa­ches zu den Leit­per­spek­ti­ven

In wel­cher Wei­se das Fach Ma­the­ma­tik ei­nen Bei­trag zu den Leit­per­spek­ti­ven leis­tet, wird im Fol­gen­den dar­ge­stellt:

  • Bil­dung für nach­hal­ti­ge Ent­wick­lung (BNE)
    Der Ma­the­ma­tik­un­ter­richt trägt da­zu bei, dass Kin­der und Ju­gend­li­che be­fä­higt wer­den, in viel­fäl­ti­gen Kon­tex­ten und Le­bens­be­rei­chen ver­ant­wor­tungs­voll und nach­hal­tig zu den­ken und zu agie­ren. Als Grund­la­gen­fach leis­tet Ma­the­ma­tik im Prin­zip mit all sei­nen Kom­pe­tenz­be­rei­chen Bei­trä­ge zur Bil­dung für nach­hal­ti­ge Ent­wick­lung, ins­be­son­de­re im Rah­men der Leit­ide­en Funk­tio­na­ler Zu­sam­men­hang be­zie­hungs­wei­se Da­ten und Zu­fall.
    Durch ent­spre­chen­de The­men­aus­wahl bie­tet der Un­ter­richt An­lass, über ge­sell­schaft­li­che, wirt­schaft­li­che und wis­sen­schaft­li­che Zu­sam­men­hän­ge und Ent­wick­lun­gen nach­zu­den­ken. Die Ma­the­ma­tik stellt Werk­zeu­ge zur Ver­fü­gung, um bei Fra­gen nach­hal­ti­ger Ent­wick­lung fun­dier­te Aus­sa­gen zu tref­fen und zu sach­lich be­grün­de­ten Be­wer­tun­gen zu kom­men.
  • Bil­dung für To­le­ranz und Ak­zep­tanz von Viel­falt (BTV)
    Aus dem Stel­len­wert des Fa­ches Ma­the­ma­tik er­wächst die Ver­ant­wor­tung, im Un­ter­richt sei­ne Be­deu­tung durch häu­fi­gen Be­zug zur rea­len Welt her­aus­zu­ar­bei­ten. Mit ge­eig­ne­ten, an­wen­dungs­ori­en­tier­ten Auf­ga­ben und durch die Art der Be­hand­lung kön­nen As­pek­te der Bil­dung für To­le­ranz und Ak­zep­tanz von Viel­falt auf­ge­grif­fen wer­den.
  • Prä­ven­ti­on und Ge­sund­heits­för­de­rung (PG)
    Mit den Ar­beits­wei­sen und Me­tho­den des Ma­the­ma­tik­un­ter­richts wird ein we­sent­li­cher Bei­trag zur Ent­wick­lung der Per­sön­lich­keit im Sin­ne der Leit­per­spek­ti­ve Prä­ven­ti­on und Ge­sund­heits­för­de­rung ge­leis­tet. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­wer­ben durch Be­ob­ach­tung von mo­dell­haf­tem Ver­hal­ten so­wie durch ei­ge­ne Er­fah­run­gen Le­bens­kom­pe­ten­zen vor al­lem in den Lern- und Hand­lungs­fel­dern „Ge­dan­ken, Emo­tio­nen und Hand­lun­gen selbst re­gu­lie­ren“ und „res­sour­cen­ori­en­tiert den­ken und Pro­ble­me lö­sen“. Ins­be­son­de­re kön­nen sie sich im Ma­the­ma­tik­un­ter­richt in ih­rem Han­deln als selbst­wirk­sam er­le­ben.
  • Be­ruf­li­che Ori­en­tie­rung (BO)
    Wäh­rend der Ent­wick­lung ih­rer ma­the­ma­ti­schen Fä­hig­kei­ten er­ken­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler auch ih­re In­ter­es­sen und Po­ten­zia­le im ma­the­ma­tisch-na­tur­wis­sen­schaft­li­chen Be­reich und wer­den in der Er­kennt­nis ge­för­dert, dass es hier kei­ne ge­schlechts­spe­zi­fi­schen Un­ter­schie­de zu ge­ben braucht. In ge­eig­ne­ten Auf­ga­ben­zu­sam­men­hän­gen er­le­ben sie die Be­deu­tung der Ma­the­ma­tik in ver­schie­de­nen Be­ru­fen. Dies trägt zur Fä­hig­keit für selbst­be­stimm­te und kom­pe­ten­te Ent­schei­dun­gen bei der Aus­wahl aus dem An­ge­bot der Ar­beits­welt bei.
  • Me­di­en­bil­dung (MB)
    In­for­ma­tio­nen sind in den Me­di­en häu­fig in Form von Sta­tis­ti­ken – ins­be­son­de­re durch gra­phisch auf­be­rei­te­te Dar­stel­lun­gen – ge­ge­ben. Es ge­hört zu den Auf­ga­ben der Me­di­en­bil­dung, die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zu be­fä­hi­gen, sol­che In­for­ma­tio­nen zu be­schaf­fen, die Quel­len zu prü­fen und die Dar­stel­lun­gen kri­tisch zu in­ter­pre­tie­ren. Bei der ma­the­ma­ti­schen Ver­ar­bei­tung und der me­dia­len Auf­be­rei­tung ei­ge­ner sta­tis­ti­scher Er­he­bun­gen wer­den di­gi­ta­le Hilfs­mit­tel – Rech­ner oder Soft­ware – ein­ge­setzt, de­ren Nut­zung die Schü­le­rin­nen und Schü­ler da­bei er­ler­nen oder ver­tie­fen. Di­gi­ta­le Hilfs­mit­tel, zum Bei­spiel Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­ons­soft­ware oder dy­na­mi­sche Geo­me­trie­soft­ware, un­ter­stüt­zen den ma­the­ma­ti­schen Lern­pro­zess, in­dem durch sie an­schau­lich und oh­ne gro­ßen Zeit­auf­wand ma­the­ma­ti­sches Ver­ständ­nis aus­ge­bil­det wer­den kann. In­dem die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ih­re Über­le­gun­gen, Lö­sungs­we­ge, Be­grün­dun­gen und Er­geb­nis­se me­di­al auf­be­rei­ten, trai­nie­ren sie so­wohl die Aus­drucks­fä­hig­keit in der Fach­spra­che als auch das Ver­fas­sen ver­ständ­li­cher Dar­stel­lun­gen bei ge­eig­ne­tem Me­di­en­ein­satz. Von al­len Leit­per­spek­ti­ven nimmt da­her die Me­di­en­bil­dung im Rah­men des Ma­the­ma­tik­un­ter­richts ei­nen be­son­de­ren Platz ein.
  • Ver­brau­cher­bil­dung (VB)
    Die Ma­the­ma­tik un­ter­stützt mit ih­ren ge­dank­li­chen Werk­zeu­gen ein selbst­be­stimm­tes und ver­ant­wor­tungs­be­wuss­tes Ver­brau­cher­ver­hal­ten, in­dem sie er­mög­licht, fun­dier­te Aus­sa­gen zu tref­fen und zu sach­lich be­grün­de­ten Be­wer­tun­gen zu kom­men. Durch ei­ne gut aus­ge­bil­de­te ma­the­ma­ti­sche Kom­pe­tenz und Sen­si­bi­li­sie­rung für ma­the­ma­ti­sche Zu­sam­men­hän­ge kön­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zum Bei­spiel pseu­do­ma­the­ma­ti­sche Ar­gu­men­ta­tio­nen bei An­ge­bo­ten durch­schau­en und wer­den be­son­ders für die selbst­stän­di­ge Be­wäl­ti­gung ih­rer fi­nan­zi­el­len An­ge­le­gen­hei­ten vor­be­rei­tet.

1.2 Kom­pe­ten­zen

Die stän­di­gen Ver­än­de­run­gen in der Ge­sell­schaft for­dern von ih­ren Mit­glie­dern dy­na­mi­sche und fle­xi­ble Fä­hig­kei­ten, um ak­tiv teil­ha­ben und mit­wir­ken zu kön­nen. Die ma­the­ma­ti­schen Kom­pe­ten­zen, die sie da­zu be­fä­hi­gen, be­zie­hen sich ei­ner­seits auf die In­hal­te des Fa­ches und an­de­rer­seits auf die zen­tra­len ma­the­ma­ti­schen Pro­zes­se, wie zum Bei­spiel Pro­blem­lö­sen, Mo­del­lie­ren oder Ar­gu­men­tie­ren. Bei je­dem kon­kre­ten ma­the­ma­ti­schen Ar­bei­ten kom­men bei­de zu­sam­men: Ei­ne er­folg­rei­che An­wen­dung von Kennt­nis­sen zu ma­the­ma­ti­schen In­hal­ten ge­schieht im­mer in Zu­sam­men­hang mit ma­the­ma­ti­schen Pro­zes­sen.

Für ei­ne ver­ständ­li­che und über­sicht­li­che Dar­stel­lung sind die bei­den As­pek­te von­ein­an­der ge­trennt er­läu­tert als

  • pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen,
  • in­halts­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen.

Ein kom­pe­tenz­ori­en­tier­ter Un­ter­richt be­rück­sich­tigt stets bei­de As­pek­te durch ei­ne en­ge Ver­bin­dung von in­halts­be­zo­ge­nen und pro­zess­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen.

Bei den Fest­le­gun­gen zu die­sen ma­the­ma­ti­schen Kom­pe­ten­zen fol­gen die hier vor­ge­leg­ten Stan­dards den Vor­ga­ben der Kul­tus­mi­nis­ter­kon­fe­renz (KMK). Wo sich in­ner­halb der Leit­ide­en tie­fer­ge­hen­de Mög­lich­kei­ten zur Ver­schrän­kung der bei­den Kom­pe­ten­zar­ten an­bie­ten, wird auf pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen ver­wie­sen.

Der Zu­sam­men­hang zwi­schen Kom­pe­ten­zen und An­for­de­rungs­be­rei­chen

So­wohl die in­halts­be­zo­ge­nen als auch die pro­zess­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen kön­nen in un­ter­schied­li­chen An­for­de­rungs­be­rei­chen er­wor­ben wer­den. Die Cha­rak­te­ri­sie­rung der drei An­for­de­rungs­be­rei­che kann ver­ein­fa­chend be­schrie­ben wer­den durch Re­pro­du­zie­ren (I), Zu­sam­men­hän­ge her­stel­len (II) und Ver­all­ge­mei­nern und Re­flek­tie­ren (III).

Die fol­gen­de gra­phi­sche Dar­stel­lung soll ver­an­schau­li­chen, wie man ma­the­ma­ti­sche Tä­tig­kei­ten in den Di­men­sio­nen In­hal­te, Pro­zes­se und An­for­de­rungs­be­rei­che ver­or­ten kann. Ei­ne kon­kre­te ma­the­ma­ti­sche Tä­tig­keit ver­bin­det im­mer in­halts­be­zo­ge­ne und pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen (mög­li­cher­wei­se auch meh­re­re un­ter­ein­an­der) und kann da­bei ei­nen oder meh­re­re An­for­de­rungs­be­rei­che ein­be­zie­hen:

Zu­sam­men­hang zwi­schen pro­zess­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen, Leit­ide­en (in­halts­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen) und An­for­de­rungs­be­rei­chen (© Lan­des­in­sti­tut für Schul­ent­wick­lung)
Abbildung 1:Zusammenhang zwischen prozessbezogenen Kompetenzen, Leitideen (inhaltsbezogenen Kompetenzen) und Anforderungsbereichen

Pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen

Die­se sind ge­glie­dert in die fünf Be­rei­che

  • Ar­gu­men­tie­ren und Be­wei­sen,
  • Pro­ble­me lö­sen,
  • Mo­del­lie­ren,
  • Mit sym­bo­li­schen, for­ma­len und tech­ni­schen Ele­men­ten der Ma­the­ma­tik um­ge­hen,
  • Kom­mu­ni­zie­ren.

Die­se über­grei­fen­den Kom­pe­ten­zen be­zie­hen sich auf ty­pi­sche ma­the­ma­ti­sche Tä­tig­kei­ten über al­le ma­the­ma­ti­schen In­hal­te hin­weg und sol­len sich im Bil­dungs­pro­zess bis zum En­de des Bil­dungs­gangs bei al­len Schü­le­rin­nen und Schü­lern her­aus­bil­den. Sie wer­den we­der nach Ni­veau noch nach Klas­sen­stu­fen dif­fe­ren­ziert dar­ge­stellt. In we­ni­gen Aus­nah­me­fäl­len gibt es al­ler­dings durch (E) ge­kenn­zeich­ne­te Be­schrei­bun­gen, die nur für das er­wei­ter­te Ni­veau (E) gel­ten (sie­he Aus­füh­run­gen zu den Leit­ide­en).

Die Aus­füh­run­gen zu den ein­zel­nen Kom­pe­ten­zen sind – so­weit es mög­lich und sinn­voll er­scheint – sehr kon­kret, um die an­zu­stre­ben­den Fä­hig­kei­ten für das un­ter­richt­li­che Ar­bei­ten prä­zi­se, um­fas­send und ein­deu­tig zu be­schrei­ben.

Die ver­ständ­nis­ori­en­tier­te Aus­ein­an­der­set­zung mit ma­the­ma­ti­schen In­hal­ten so­wie die An­wen­dungs­ori­en­tie­rung im Un­ter­richt er­mög­li­chen for­schen­des Ler­nen und Ent­de­cken von ma­the­ma­ti­schen Zu­sam­men­hän­gen. In­ner- und au­ßer­ma­the­ma­ti­sche Pro­blem­stel­lun­gen wer­den im Un­ter­richt ver­netzt und ha­ben das Ent­wi­ckeln und Nach­voll­zie­hen von Pro­blem­lö­sun­gen so­wie das Re­flek­tie­ren von Stra­te­gi­en zum Ziel. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen da­bei, ma­the­ma­tisch zu den­ken, zu kom­mu­ni­zie­ren, zu ar­gu­men­tie­ren und zu be­grün­den. Ver­mu­tun­gen äu­ßern, Fra­gen stel­len, re­cher­chie­ren und In­for­ma­tio­nen auf Re­le­vanz un­ter­su­chen, Lö­sun­gen do­ku­men­tie­ren, über­prü­fen und prä­sen­tie­ren so­wie der kon­struk­ti­ve Um­gang mit Feh­lern und Kri­tik sind Zie­le und Be­stand­tei­le des Ma­the­ma­tik­un­ter­richts.

Leit­ide­en

Die Leit­ide­en sind ge­glie­dert in die fünf Be­rei­che

  • Zahl – Va­ria­ble – Ope­ra­ti­on,
  • Mes­sen,
  • Raum und Form,
  • Funk­tio­na­ler Zu­sam­men­hang,
  • Da­ten und Zu­fall.

Die­se Leit­ide­en spie­geln die zen­tra­len Ide­en des Fa­ches Ma­the­ma­tik wi­der, wie sie sich in der Ent­wick­lung her­aus­kris­tal­li­siert ha­ben. Aus­ge­hend von kon­kre­ten, im All­tag ver­haf­te­ten Kon­zep­ten, wie dem der Zahl und des Mes­sens ei­ner­seits und der Ent­wick­lung zu­neh­mend abs­trak­ter geo­me­tri­scher Kon­zep­te zur Er­fas­sung von Raum und Form an­de­rer­seits, wur­den in der Ge­schich­te der Ma­the­ma­tik Ide­en wie Ap­pro­xi­ma­ti­on und Al­go­rith­mus ent­wi­ckelt. Da­bei spiel­ten die Her­aus­for­de­run­gen durch Na­tur­wis­sen­schaft und Tech­nik ei­ne zen­tra­le Rol­le, was in der Ma­the­ma­tik so­wohl das Den­ken in funk­tio­na­len Zu­sam­men­hän­gen als auch Ide­en für den Um­gang mit gro­ßen Da­ten­men­gen und zu­fäl­li­gen Er­schei­nun­gen an­ge­regt hat.

Die Leit­ide­en be­schrei­ben ei­ne über­grei­fen­de Per­spek­ti­ve auf ma­the­ma­ti­sche In­hal­te. Da­her stel­len sie auch kei­ne zeit­li­che Struk­tu­rie­rung für den Un­ter­richt dar, son­dern sol­len spi­ra­lig und ver­net­zend im­mer wie­der auf­ge­grif­fen und in ih­rer über­grei­fen­den Be­deu­tung deut­lich wer­den.

Ins­be­son­de­re kön­nen sich in­halts­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen auch auf ver­schie­de­ne Leit­ide­en be­zie­hen und Leit­ide­en über be­stimm­te In­hal­te mit­ein­an­der ver­bun­den sein. In die­sen Stan­dards be­schreibt zum Bei­spiel die Leit­idee Mes­sen vor al­lem das Grund­prin­zip des Mes­sens und die We­ge zur Be­stim­mung von Flä­chen- oder Raum­in­hal­ten, wäh­rend die zu mes­sen­den Grö­ßen selbst (wie Ab­stän­de, Win­kel) der Leit­idee Raum und Form zu­zu­rech­nen sind. Ent­spre­chen­de Be­rüh­rungs­punk­te gibt es zwi­schen den Leit­ide­en Zahl – Va­ria­ble – Ope­ra­ti­on und Funk­tio­na­ler Zu­sam­men­hang. Ver­wei­se zwi­schen den Leit­ide­en die­nen hier der Klar­stel­lung und un­ter­stüt­zen den Ge­dan­ken der Ver­net­zung.

Kur­siv­set­zung von Be­grif­fen in den Leit­ide­en

Fach­be­grif­fe, die kur­siv ge­schrie­ben sind, sind im Un­ter­richt ver­bind­lich mit dem Ziel ein­zu­set­zen, dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die­se

  • in un­ter­schied­li­chen Kon­tex­ten oh­ne zu­sätz­li­che Er­läu­te­rung ver­ste­hen und an­wen­den kön­nen,
  • im ei­ge­nen Wort­schatz als Fach­spra­che ak­tiv be­nut­zen kön­nen,
  • mit ei­ge­nen Wor­ten kor­rekt be­schrei­ben kön­nen.

Fach­be­grif­fe, die in den Stan­dards nicht kur­siv ge­setzt sind, wer­den ver­wen­det, um die Kom­pe­tenz­be­schrei­bung für die Lehr­kräf­te fach­lich prä­zi­se und prä­gnant for­mu­lie­ren zu kön­nen. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler müs­sen über die­se Fach­be­grif­fe nicht ver­fü­gen kön­nen.

For­meln sind ver­bind­lich im Un­ter­richt so zu be­han­deln, dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler am En­de des Kom­pe­ten­z­er­werbs die­se ken­nen, ih­re in­halt­li­che Be­deu­tung wie­der­ge­ben und sie an­wen­den kön­nen.

Be­zug zwi­schen pro­zess­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen und in­halts­be­zo­ge­nen Kom­pe­ten­zen

Die ein­zel­nen Kom­pe­tenz­be­schrei­bun­gen le­gen so­wohl die kon­kre­ten In­hal­te als auch die da­mit ver­bun­de­nen Fä­hig­kei­ten prä­zi­se und ein­deu­tig fest. Grund­sätz­lich kön­nen zu­sam­men mit je­der in­halts­be­zo­ge­nen Kom­pe­tenz pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen ge­för­dert wer­den. Wo je­doch bei ei­ner Teil­kom­pe­tenz in ei­ner Leit­idee ein ex­pli­zi­ter Ver­weis auf pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­ten­zen steht, soll dies als Hin­weis dar­auf ver­stan­den wer­den, dass die­se pro­zess­be­zo­ge­ne Kom­pe­tenz an die­ser Stel­le in be­son­ders ge­eig­ne­ter Wei­se auf­ge­grif­fen wer­den kann. We­gen des eher ex­em­pla­ri­schen Ge­brauchs sol­cher Ver­wei­se ist das stän­di­ge Be­wusst­sein um­so wich­ti­ger, dass Ma­the­ma­tik­un­ter­richt erst in der Ver­zah­nung von In­hal­ten und Pro­zes­sen le­ben­dig wer­den kann.

Klas­sen­stu­fen und Ni­veau­stu­fen

Die Leit­ide­en für die Klas­sen­stu­fen 7, 8, 9 ent­hal­ten auch Kom­pe­ten­zen, die für den Haupt­schul­ab­schluss nicht ver­langt wer­den, dies er­kennt man am Zu­satz [MSA] bei der Teil­kom­pe­tenz­num­mer, zum Bei­spiel (4)[MSA]. Durch die­se Kenn­zeich­nung wird auch deut­lich, dass Schü­le­rin­nen und Schü­ler, die ei­nen mitt­le­ren Schul­ab­schluss auf der Ni­veau­stu­fe G an­stre­ben, ei­nen Teil der zu­ge­hö­ri­gen Kom­pe­ten­zen schon im Ver­lauf der Klas­se 9 er­wer­ben müs­sen.

Die Stan­dards de­fi­nie­ren im G–Ni­veau die Kom­pe­ten­zen für den Haupt­schul­ab­schluss (oh­ne die durch [MSA] ge­kenn­zeich­ne­ten Teil­kom­pe­ten­zen), für ei­nen mitt­le­ren Schul­ab­schluss in der Werk­re­al­schu­le (mit den durch [MSA] ge­kenn­zeich­ne­ten Teil­kom­pe­ten­zen), und im M–Ni­veau für ei­nen Re­al­schul­ab­schluss.

1.3 Di­dak­ti­sche Hin­wei­se

Um so­wohl pro­zess­be­zo­ge­ne als auch in­halts­be­zo­ge­ne ma­the­ma­ti­sche Kom­pe­ten­zen zu ent­wi­ckeln, be­nö­ti­gen Schü­le­rin­nen und Schü­ler ak­ti­ve An­eig­nungs­pro­zes­se und ‑hand­lun­gen, in de­nen sie Ma­the­ma­tik be­trei­ben und neu ge­won­ne­ne Er­kennt­nis­se zu be­reits vor­han­de­nen Vor­stel­lun­gen in Be­zie­hung set­zen.

Nach­hal­tig­keit und Ver­net­zung von Wis­sen

Die Leit­ide­en er­mög­li­chen die For­mu­lie­rung ei­nes Cur­ri­cul­ums, wel­ches Grund­be­grif­fe auf ver­schie­de­nen ko­gni­ti­ven und sprach­li­chen Ni­veaus bis hin zu abs­trak­ten for­ma­li­sier­ten Dar­stel­lun­gen im­mer wie­der auf­greift und spi­ral­cur­ri­cu­lar wei­ter­ent­wi­ckelt. Den Schü­le­rin­nen und Schü­lern wird da­durch die Mög­lich­keit ge­ge­ben, fach­li­chen Ge­gen­stän­den pro­pä­deu­tisch zu be­geg­nen, sie wie­der­auf­zu­neh­men und zu ver­tie­fen. Die­se Pha­sen im­mer wie­der­keh­ren­der Aus­ein­an­der­set­zung mit In­hal­ten füh­ren zu ei­ner zeit­li­chen Stre­ckung des Lern­pro­zes­ses und zu ei­nem ver­tief­ten, auf Nach­hal­tig­keit aus­ge­leg­ten Kom­pe­tenz­auf­bau. Im Un­ter­richt ste­hen die fünf Leit­ide­en nicht iso­liert ne­ben­ein­an­der; Be­zie­hun­gen und Sinn­zu­sam­men­hän­ge, auf die in den Bil­dungs­stan­dards in Form von Quer­ver­wei­sen hin­ge­wie­sen wird, füh­ren zu ei­ner Ver­net­zung des Wis­sens und der In­hal­te, so dass ein in­te­grier­tes Ver­ständ­nis von Ma­the­ma­tik ent­steht.

Grund­vor­stel­lun­gen und Lern­pro­zes­se

Da­mit die Ler­nen­den Ma­the­ma­tik sinn­erfüllt er­le­ben und ver­ste­hen, müs­sen die schon in der Grund­schu­le an­ge­bahn­ten Grund­vor­stel­lun­gen trag­fä­hig wei­ter­ent­wi­ckelt, er­gänzt und im Be­darfs­fall re­vi­diert wer­den. Die Grund­vor­stel­lun­gen er­mög­li­chen den Schü­le­rin­nen und Schü­lern, ei­nen Sinn­zu­sam­men­hang zwi­schen der ma­the­ma­ti­schen und der rea­len Welt her­zu­stel­len: Ein ma­the­ma­ti­sches Kon­zept kann erst sinn­voll ein­ge­setzt wer­den, wenn die ent­spre­chen­den Grund­vor­stel­lun­gen da­zu ak­ti­viert wer­den kön­nen (zum Bei­spiel be­nö­tigt das Ad­die­ren von Brü­chen Grund­vor­stel­lun­gen zu Brü­chen als An­teil und zur Ver­fei­ne­rung von An­teils­dar­stel­lun­gen). Grund­vor­stel­lun­gen bil­den so die not­wen­di­ge Ba­sis für ma­the­ma­ti­sches Ver­ständ­nis und da­mit für den Auf­bau ma­the­ma­ti­scher Kom­pe­ten­zen. Sta­bi­le Grund­vor­stel­lun­gen sind Vor­aus­set­zung da­für, auch auf län­ger­fris­tig zu­rück­lie­gen­de ma­the­ma­ti­sche Be­grif­fe und Re­geln nach­hal­tig zu­grei­fen zu kön­nen.

Das Ler­nen von Ma­the­ma­tik ist ein kon­stru­ie­ren­d-ent­de­cken­der Pro­zess, der sich an be­reits vor­han­de­ne Kom­pe­ten­zen an­schließt und in des­sen Ver­lauf man zur Aus­ein­an­der­set­zung mit ma­the­ma­ti­schen Sach­ver­hal­ten an­ge­regt wird. Me­tho­disch kann dies in un­ter­schied­li­chen Lern­um­ge­bun­gen durch in­di­vi­du­el­le oder ko­ope­ra­tiv ge­stal­te­te Ar­beits­pha­sen wie auch in Ple­nums­pha­sen er­reicht wer­den. Un­ab­hän­gig von der Me­tho­de sind klar vor­ge­ge­be­ne Struk­tu­ren und wohl­über­leg­te In­struk­ti­on durch die Lehr­kraft Grund­vor­aus­set­zun­gen für den Un­ter­richts­er­folg.

Gu­ter Ma­the­ma­tik­un­ter­richt be­darf ko­gni­tiv ak­ti­vie­ren­der, reich­hal­ti­ger, mög­lichst au­then­ti­scher und mo­ti­vie­ren­der in­ner- und au­ßer­ma­the­ma­ti­scher Pro­blem­si­tua­tio­nen, die das Po­ten­zi­al be­inhal­ten, Be­grif­fe, Re­geln, Lö­sungs­ver­fah­ren oder Mo­del­lie­run­gen ent­we­der selbst­stän­dig zu ent­de­cken oder be­grün­det zu kon­stru­ie­ren. Da­bei spie­len die ei­gen­stän­di­ge Be­ar­bei­tung von Fra­ge- und Pro­blem­stel­lun­gen, die Re­ak­ti­vie­rung des Vor­wis­sens, die Aus­ein­an­der­set­zung mit un­ter­schied­li­chen Zu­gangs- und Lö­sungs­mög­lich­kei­ten, ein kon­struk­ti­ver Um­gang mit Feh­lern und die Mög­lich­keit zur Ko­ope­ra­ti­on zwi­schen den Ler­nen­den ei­ne wich­ti­ge Rol­le. Vor­ge­ge­be­ne Dar­stel­lun­gen zu in­ter­pre­tie­ren und zu be­wer­ten, ei­ge­ne Dar­stel­lun­gen zu ent­wi­ckeln und zwi­schen ver­schie­de­nen Dar­stel­lungs­ebe­nen zu wech­seln trägt zur Ent­wick­lung und Ver­tie­fung von ma­the­ma­ti­schem Ver­ständ­nis bei.

Üben und Auf­ga­ben­aus­wahl

Dem Üben kommt im Ma­the­ma­tik­un­ter­richt ei­ne wich­ti­ge Rol­le zu.

Ei­ner­seits be­inhal­tet es ope­ra­ti­ves und ko­gni­tiv an­re­gen­des Üben, mit dem die Be­weg­lich­keit des Den­kens ge­för­dert und star­ren, ein­sei­ti­gen Sche­ma­ta ent­ge­gen­ge­wirkt wer­den soll. Da­zu be­darf es ei­ner hin­rei­chen­den Va­ria­ti­on an Auf­ga­ben­for­ma­ten (Um­keh­ren, Ana­lo­gi­sie­ren, Ver­all­ge­mei­nern, …). In Übungs­pha­sen kann es durch die Wahl ge­eig­ne­ter Auf­ga­ben­stel­lun­gen mög­lich sein, wei­ter­füh­ren­de ma­the­ma­ti­sche Struk­tu­ren und Zu­sam­men­hän­ge von den Schü­le­rin­nen und Schü­lern ent­de­cken zu las­sen (pro­duk­ti­ves Üben).

An­de­rer­seits soll auch das Be­herr­schen von ma­the­ma­ti­schen Ver­fah­ren und Kal­kü­len durch Üben so aus­ge­bil­det wer­den, dass grund­le­gen­de Al­go­rith­men si­cher aus­ge­führt wer­den kön­nen. Bei kom­ple­xe­ren Auf­ga­ben­stel­lun­gen, et­wa beim Pro­blem­lö­sen und Mo­del­lie­ren, kommt die­ser Fer­tig­keit ei­ne wich­ti­ge Ent­las­tungs­funk­ti­on zu. Im Rah­men der Au­to­ma­ti­sie­rung ma­the­ma­ti­scher Fer­tig­kei­ten ist je­doch auf viel­fäl­ti­ge Re­fle­xio­nen über die ei­ge­ne Vor­ge­hens­wei­se zu ach­ten.

Übungs­pha­sen be­schrän­ken sich nicht al­lein auf Übungs­stun­den, son­dern sind Be­stand­teil ei­ner je­den Ma­the­ma­tik­stun­de. Auch in Er­ar­bei­tungs­pha­sen wer­den ak­tu­el­le Un­ter­richts­in­hal­te mit ver­gan­ge­nen ver­netzt, die durch wie­der­ho­len­des Üben ak­ti­viert wer­den, so dass ein sinn­vol­les Wei­ter­ler­nen er­mög­licht wird.

In­ner­ma­the­ma­ti­sche be­zie­hungs­wei­se an­wen­dungs­be­zo­ge­ne Fra­ge­stel­lun­gen för­dern ne­ben dem Er­werb in­halt­li­cher Kom­pe­ten­zen die Aus­bil­dung pro­zess­be­zo­ge­ner Kom­pe­ten­zen und er­mög­li­chen ei­nen Be­zug zu den Leit­per­spek­ti­ven.

He­te­ro­ge­ni­tät der Schü­le­rin­nen und Schü­ler

Die He­te­ro­ge­ni­tät der Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­for­dert ei­ner­seits von Leh­rer­sei­te bin­nen­dif­fe­ren­zie­ren­de Maß­nah­men, wie zum Bei­spiel par­al­lel­dif­fe­ren­zier­te, stu­fen­dif­fe­ren­zier­te oder selbst­dif­fe­ren­zie­ren­de Auf­ga­ben, Dif­fe­ren­zie­rung bei den Zu­gangs­wei­sen oder in­di­vi­dua­li­sie­ren­de Un­ter­richts­for­ma­te mit dem Ziel, den in­di­vi­du­el­len Lern­vor­aus­set­zun­gen ge­recht zu wer­den und der In­di­vi­dua­li­tät der Schü­le­rin­nen und Schü­ler Ent­fal­tungs­mög­lich­kei­ten zu ge­ben. Sie bie­tet den Schü­le­rin­nen und Schü­lern an­de­rer­seits die Mög­lich­keit, auf Ba­sis un­ter­schied­li­cher Er­fah­rungs­hin­ter­grün­de, Ar­beits- und Her­an­ge­hens­wei­sen mit­ein­an­der in ei­nen Dia­log über un­ter­schied­li­che Sicht­wei­sen zu tre­ten, sich ge­gen­sei­tig Im­pul­se zu ge­ben und so per­so­na­le und so­zia­le Kom­pe­ten­zen wei­ter­zu­ent­wi­ckeln.

Der Dia­gno­se ma­the­ma­ti­scher Kom­pe­ten­zen und den sich dar­an an­schlie­ßen­den ge­ziel­ten För­der­maß­nah­men kommt in ei­nem He­te­ro­ge­ni­tät be­rück­sich­ti­gen­den Un­ter­richt gro­ße Be­deu­tung zu.

Hilfs­mit­tel di­dak­tisch nut­zen

Me­dia­le Hilfs­mit­tel stel­len ei­ner­seits bei der Aus­bil­dung von Grund­vor­stel­lun­gen ei­ne not­wen­di­ge Un­ter­stüt­zung dar, an­de­rer­seits be­rei­tet der Um­gang mit ih­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler auf ei­ne zu­neh­mend tech­ni­sier­te und di­gi­ta­li­sier­te Le­bens- und spä­te­re Be­rufs­welt vor.

Ge­eig­ne­te Hilfs­mit­tel er­mög­li­chen ins­be­son­de­re di­dak­tisch sinn­vol­le Zu­gän­ge zu neu­en In­hal­ten und kön­nen zu ver­tief­ter und nach­hal­ti­ger Ent­wick­lung von ma­the­ma­ti­schem Den­ken bei­tra­gen. Sie er­lau­ben den Schü­le­rin­nen und Schü­lern viel­fäl­ti­ge und in­di­vi­du­el­le Mög­lich­kei­ten des heu­ris­ti­schen und ex­pe­ri­men­tel­len Ar­bei­tens und ent­las­ten bei Pro­blem­lö­se­pro­zes­sen von al­go­rith­mi­schen und kal­kül­haf­ten Tä­tig­kei­ten.




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